אוטומורפיזם

במתמטיקה, אוטומורפיזם של מבנה מתמטי הוא פונקציה ממבנה לעצמו, המשמרת את כל פרטי המבנה, והפיכה ככזו.

כך למשל:

• אוטומורפיזם של חבורות הוא פונקציה הפיכה המשמרת את פעולת הכפל.
  
• אוטומורפיזם של מרחב וקטורי הוא פונקציה הפיכה המשמרת את החיבור והכפל בסקלר.
  
• אוטומורפיזם של מרחב מטרי הוא פונקציה משמרת מרחק מן המרחב על עצמו.
  
• אוטומורפיזם של מרחב טופולוגי הוא פונקציה רציפה ופתוחה (לא די בכך שהפונקציה תהיה רציפה והפיכה, משום שעל הפונקציה ההפוכה להיות רציפה בעצמה).

לפונקציה בין שני מבנים מאותו סוג, המשמרת פעולות ויחסים וקבועים, קוראים הומומורפיזם. לפיכך, אוטומורפיזם הוא הומומורפיזם הפיך ממבנה אל עצמו.
לפונקציה בין שני מבנים מאותו סוג, המשמרת מבנה וגם הפיכה, קוראים איזומורפיזם. לפיכך, אוטומורפיזם הוא איזומורפיזם מהמבנה אל עצמו.

אוסף האוטומורפיזמים של מבנה הוא תמיד חבורה (ביחס לפעולת ההרכבה), משום שהרכבת שתי פעולות המשמרות תכונה מסוימת משמרת גם היא אותה תכונה.
למשל, אם

${\begin{aligned}f(x_{1}*x_{2})=f(x_{1})*f(x_{2})\\g(x_{1}*x_{2})=g(x_{1})*g(x_{2})\\(f\circ g)(x_{1}*x_{2})=f(g(x_{1}*x_{2}))=f(g(x_{1})*g(x_{2}))=f(g(x_{1}))*f(g(x_{2}))=(f\circ g)(x_{1})*(f\circ g)(x_{2})\end{aligned}}$

הפונקציה ההפוכה לפונקציה המשמרת תכונה, משמרת גם היא אותה תכונה. את חבורת האוטומורפיזמים של מבנה $X$ מסמנים בדרך כלל בסימון ${\text{Aut}}(X)$.

חבורת האוטומורפיזמים כוללת את הסימטריות של המבנה; למבנים סימטריים יש חבורת אוטומורפיזמים גדולה ולהפך. במקרים רבים, כדי להבין עצם מתמטי, יש להכיר גם את חבורת האוטומורפיזמים שלו.

באופן טבעי, התורה המתמטית הרלוונטית ביותר לחקר חבורות של אוטומורפיזמים היא תורת החבורות, ובמסגרתה יש מעמד מיוחד לחבורות אוטומורפיזמים של חבורות: אלה נקראות בפשטות חבורות אוטומורפיזמים.

בתורת גלואה, חבורת האוטומורפיזמים של שדה $K$, כאלגברה מעל תת-שדה $F$, נקראת חבורת גלואה של ההרחבה $K/F$. חבורה זו כוללת את כל הפונקציות ההפיכות מן השדה לעצמו, המשמרות את החיבור והכפל, ומכבדות את הכפל בסקלר; התכונה האחרונה שקולה לכך שהאוטומורפיזם מעביר את אברי $F$ לעצמם.

קישורים חיצוניים

• אוטומורפיזם, באתר MathWorld (באנגלית)