אפיציקלואיד

בגאומטריה, אפיציקלואיד הוא עקומה הנוצרת על ידי התחקות אחר הנתיב של נקודה נבחרת על היקף מעגל – המכונה "אפיציקל" – שמתגלגל סביב מעגל קבוע על היקפו. זהו סוג מסוים של רולטה.

משוואות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם למעגל הקטן יש רדיוס r, ולמעגל הגדול יש רדיוס R, אזי ניתן לבטא את העקומה על ידי המשוואות הפרמטריות הבאות:

x(\theta )=(R+r)\cos \theta \ -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)

y(\theta )=(R+r)\sin \theta \ -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right),

או, אם נסמן k=R/r:

x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\,

y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right).\,

או, בהצגה במישור המרוכב^[1]:

z(\theta )=r(e^{i(k+1)\theta }-(k+1)e^{i\theta })

כאשר בכל הנוסחאות, $\theta \in [0,2\pi ]$ .

שטח ומאפיינים נוספים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם k, היחס בין הרדיוס של המעגל הקבוע לרדיוס המעגל שמסתובב עליו, הוא מספר שלם חיובי, אז השטח של האפיציקלואיד הוא

A=(k+1)(k+2)\pi r^{2}.

במקרה זה, העקומה סגורה, פשוטה, ויש לה k פינות חדות.

אם k הוא מספר רציונלי שניתן לכתיבה כשבר מצומצם כ-k=p/q עם q>1, אז העקומה סגורה, אינה פשוטה ויש לה p פינות. המעגל המסתובב מקיף את המעגל הקבוע q פעמים עד שהעקומה נסגרת.

אם k הוא מספר אי-רציונלי, העקומה לעולם לא תחזור על עצמה, והגרף שלה מהווה קבוצה צפופה בשטח שבין המעגל הקבוע (שרדיוסו R) לבין מעגל בעל רדיוס R+2r.

בכל המקרים, המרחק מראשית הצירים אל העקומה משתרע על הטווח שבין R ל- R+2r.