שורש (של פונקציה)

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

שורש של פונקציה הוא איבר בתחום ההגדרה של הפונקציה שעבורו ערך הפונקציה הוא 0. שורשים של פונקציה נקראים גם אפסים של הפונקציה או פתרונות של הפונקציה.

למשל עבור הפונקציה $f\left(x\right)=\sin(x)$ הצבת $x=\pi$ תחזיר $f(x)=0$ , ולכן $x=\pi$ הוא שורש של הפונקציה. דוגמה נוספת: תהא A מטריצה ממשית בעלת m שורות ו n עמודות (כאשר m, n הם שני מספרים טבעיים), ויהא b וקטור ב $\mathbb {R} ^{m}$ . הוקטור $z\in \mathbb {R} ^{n}$ הוא פתרון למערכת המשוואות הלינאריות $Ax=b$ אם ורק אם $z$ הוא שורש של הפונקציה $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ המוגדרת באופן הבא: $f(x):=Ax-b$ לכל $x$ ב $\mathbb {R} ^{n}$ (כי אם $z$ פותר את מערכת המשוואות אז $Az=b$ ולכן $f(z)=Az-b=0$ , ולהפך, אם $f(z)=0$ , אז $Az-b=0$ כלומר $Az=b$ ולכן $z$ הוא פתרון של מערכת המשוואות $Ax=b$ ).

כפועל יוצא מההגדרה, שורש של פונקציה מהישר הממשי לעצמו הוא ה- $x$ שעבורו נחתך גרף הפונקציה עם ציר ה-x. כך למשל נקודות החיתוך של הפונקציה ${\textstyle f\left(x\right)=x^{2}-4}$ עם ציר ה-x הן כששיעורי ה- $x$ הם 2 ו-2-.

בעיית מציאת השורשים של פונקציות באופן נומרי היא כר פורה למחקר מתמטי. שיטות בסיסיות בענף כוללות את שיטת החצייה ושיטת ניוטון-רפסון, שהיא שיטה איטרטיבית למציאת שורשים בעזרת נגזרות.

לא לכל פונקציה יש שורש. לדוגמה, לפונקציה $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ המוגדרת ע״י $f(x):=\sin(x)-2$ אין שורש, כי אם בשלילה $z$ הוא שורש של הפונקציה, אז $\sin(z)=2$ וזה בלתי אפשרי (כי פונקציית הסינוס חסומה בין 1- ל 1).

שורש של פולינום

עבור משוואה ממעלה ראשונה, $ax+b=0$ , $a\neq 0$ , הפתרון הוא הנקודה $x=-b/a$ .

עבור משוואה ממעלה שנייה, $ax^{2}+bx+c=0$ , $a\neq 0$ , יש שני פתרונות (שלפעמים מתלכדים): $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ .

קיימות נוסחאות גם למשוואות ממעלה שלישית ורביעית. אולם, אווריסט גלואה הוכיח כי אין פתרון באמצעות רדיקלים למשוואה ממעלה חמישית ומעלה.

המשפט הקטן של בזו קובע כי $a$ הוא שורש של פולינום $P(x)$ , אם ורק אם הפולינום ‎ $(x-a)$ מחלק את $P(x)$ . החזקה המקסימלית שבה מחלק $x-a$ את הפולינום נקראת הריבוי (האלגברי) של השורש.