משוואה ממעלה שלישית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מבחינה גאומטרית, הפתרון הממשי של המשוואה הוא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-x.

משוואה ממעלה שלישית או משוואה מעוקבת היא משוואה מהצורה:

כאשר הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים). אם השדה ממאפיין שונה מ-3, אפשר להציב ולקבל משוואה ממעלה שלישית שבה המקדם של הוא אפס.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – היסטוריה של פתרון המשוואות ממעלה שלישית ורביעית

בעוד שאת המשוואה ממעלה שנייה ידעו לפתור היוונים (וכנראה גם הבבלים), פתרונה של המשוואה ממעלה שלישית לא היה ידוע עד תחילת המאה ה-16. המתמטיקאים באותו זמן עדיין לא 'הכירו' במספרים שליליים, וכך הם התייחסו למשוואות או (כאשר שלמים חיוביים) כאל בעיות נבדלות.

ב-1515 גילה המתמטיקאי האיטלקי שיפיונה דל פרו איך לפתור חלק מן המשוואות ממעלה שלישית. באותה תקופה היו מתמטיקאים מתחרים זה בזה בפתרון משוואות, ולכן הסתיר דל פרו את הפתרון שלו. ב-1535 גילה האיטלקי ניקולו טרטליה מחדש את אותם פתרונות וסיפר עליהם לג'ירולמו קרדאנו, שהשלים את המקרים החסרים ופרסם אותם בספרו "האמנות הגדולה". את המשוואה ממעלה רביעית הצליחו לפתור זמן קצר אחר-כך, ב-1545.

פתרונה של המשוואה ממעלה שלישית היה ההישג האמיתי הראשון של המתמטיקאים בראשית תקופת הרנסאנס, ובכך הוא סייע לשבור את ה'שיתוק' שאחז בהם מאז תחילת ימי הביניים. בנוסף, פתרונו של קרדנו 'אילץ' את המתמטיקאים להתייחס ברצינות למספרים המרוכבים, משום שפתרונות 'אמיתיים' (דהיינו, ממשיים) מתקבלים לפעמים תוך מניפולציות של מספרים מרוכבים.

פתרון משוואה ממעלה שלישית[עריכת קוד מקור | עריכה]

כפי שהוסבר במבוא, אפשר להניח שהמקדם של במשוואה הוא 0. נפתור, אם כן, את המשוואה הבאה:

(כאשר הם מקדמים כלשהם בשדה, ללא שום הנחות על היותם חיוביים). אם נכתוב , אז

נציב זאת במשוואה:

כאן החלפנו משתנה אחד () בשניים ( ו-), ולכן מותר להוסיף אילוץ חדש. אם נניח ש-, המשוואה תהפוך להיות

אבל מן האילוץ יוצא , כלומר שגם הסכום וגם המכפלה של ו- ידועים. מן הסכום והמכפלה קל להרכיב משוואה ממעלה שנייה, שפתרונותיה הם ו-. על ידי הוצאת שורש שלישי אפשר למצוא את , ומן האילוץ מקבלים גם את ולכן את סכומם .

פתרון מלא של משוואה כללית ממעלה שלישית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בסעיף זה נמצא את הפתרונות המדויקים של משוואה כללית ממעלה שלישית:

(1)

כדי למצוא את שורשי משוואה (1), עלינו להיפטר בראש ובראשונה מהביטוי הריבועי , באמצעות ההצבה הבאה:

(2) .

כעת נקבל:

(3) .

לאחר פתיחת סוגריים ופישוט משוואה (3), נקבל את משוואה (4) :

(4) .

משוואה מספר (4) נקראת "משוואה מְנוּוֵנֶת ממעלה שלישית"[1] כיוון שהמקדם של , שווה 0 (אפס). הבאת המשוואה לצורתה המנוונת מקלה על פתרונה ומציאת שורשיה.

כעת, נחלק את המשוואה ב- a, בהניחנו כי .

נקבל את המשוואה:

.

כעת נגדיר:

, ונקבל את משוואה (5) :

(5) .

כעת נשתמש בהמרת וייטה[2] ונגדיר:

(6) .

לעת עתה, הקבוע s אינו מוגדר.

נציב את משוואה (6) בתוך משוואה (5) (כאמור, משוואה מְנוּוֵנֶת ממעלה שלישית), ונקבל:

(7) .

לאחר פתיחת סוגריים והכפלת שני צדי המשוואה ב- , נקבל את המשוואה הבאה:

(8) .

כעת, יהי .

כעת, הקבוע s מוגדר, ומבוטא באמצעות e (הוגדר קודם לכן, במשוואה (4)). נוסף לכך, משוואה (8) מפושטת לכדי משוואה תלת-ריבועית[3]:

(9) .

כעת נגדיר קשר נוסף: , אשר לאחר הצבתו במשוואה (9), תיוותר לנו המשוואה הריבועית הכללית הבאה:

(10) .

כעת ניתן לפתור על נקלה משוואה ריבועית זו. לאחר פתרונה, יש לזכור "לחזור אחורה" מבחינת ההצבות שביצענו, על פי הסדר הבא:

.

זאת, על מנת לקבל את שורשי המשוואה (מהמעלה השלישית) המקורית, המיוצגת על ידי x.

תזכורת: הנחנו כי:

(11)

()

()

(12)

()

הסבר אודות הפתרונות שיתקבלו:
פתרון משוואה (10), שהנה משוואה ריבועית- יניב שני פתרונות; פתרון משוואה (11) יניב שלושה ערכי z (שווים או שונים זה לזה)- עבור כל אחד משני שורשי w שקיבלנו.
כלומר, בסך הכל יתקבלו ששה ערכי z (כמצופה)- עבור משוואה (9)- שהיא ממעלה שישית. אבל, בחוזרנו אחורה למשוואה מספר (6), נקבל מכל שורש של z - שורש של y.
כלומר, נקבל ששה פתרונות של y.
עם זאת, שלושת השורשים הראשונים של y יהיו זהים בערכם- לשלושת השורשים הנוספים של y.[4]
לפיכך, נקבל למעשה רק שלושה שורשים של y (שלושת השורשים הראשונים של y "יתאחדו" עם שלושת השורשים הנוספים שלו), ולפיכך נקבל- שלושה שורשים בלבד של x, כמצופה ממשוואה ממעלה שלישית (ולא ששה). (ראה משוואה (2) - קשר בין x ובין y).

דוגמה ראשונה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נפתור את המשוואה:

.

כדי להפטר מן המקדם של , נציב , כלומר . המשוואה הופכת להיות:

.

נכתוב , כאשר , והמשוואה תהפוך ל-

זוהי משוואה ריבועית, שהפתרונות שלה הם .

למעשה, מכיוון שהתפקידים של ו- סימטריים מלכתחילה, אפשר לבחור אחד מן השורשים ולהניח ש-

(ואז ).

כעת, לכל אחד משלושת הערכים (המרוכבים) של יש לחשב את ,

ומתקבל פתרון של המשוואה.

הביטויים המתקבלים אמנם מסובכים למדי; על ידי השוואת נורמות, אפשר לגלות שעד-כדי כפל בשורש שלישי של היחידה, . מכאן יוצא ששלושת הפתרונות למשוואה שלנו הם (ולמשוואה המקורית ).

דוגמה שנייה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מצא את שורשי המשוואה:

.

פתרון:

כזכור, משוואה כללית ממעלה שלישית מוגדרת באופן הבא (משוואה מספר (1)) :

(1) .

מקדמי המשוואה הזו הם:

.

משוואה (1) מצטמצמת לכדי משוואה (2) (משוואה מְנוּוֵנֶת ממעלה שלישית) :

(2) . כעת עלינו למצוא את המקדמים ו- :

, על כן:

,

ו- , על כן:

.

כעת, המשוואה נראית כך:

, כאשר:

.

מכיוון שהגדרנו: (משוואה (12)), נקבל:

.

נציב במשוואה (10), המוגדרת, כזכור, באופן כללי כך: את ערכיהם של ושל :

.

כעת, נפתור את המשוואה הריבועית הזו:

.

כלומר:

.

לצורך מציאת שורשי המשוואה המקורית (שורשי ), נבחר, באופן שרירותי לחלוטין, את השורש . בחירת השורש השני, , תניב שורשים זהים של - לאלו של השורש הראשון שבחרנו- , כאמור לעיל. ניתן לבדוק נכונות טענה זו, באמצעות ביצוע תהליך זהה עבור השורש השני, (התהליך יודגם רק על שורש אחד, , כאמור).

קודם לכן הגדרנו את הקשר: .

מכיוון שכאמור, נפתור את המשוואה הזו, באופן שרירותי, עבור , נקבל: . מהות השוויון האחרון תוסבר כעת:

כעת, נפתור את המשוואה הזו בצורתה הפולרית.

לשם מעבר לצורה הפולרית של המשוואה, נעזר בנוסחת אוילר, אשר צורתה הפשוטה הנה:


לכל ממשי, כאשר הוא בסיס הלוגריתם הטבעי ו- הוא היחידה המדומה.

צורתה הכללית של המשוואה כוללת גם מקדם הכפלה, אשר כופל את צורתה הפשוטה של המשוואה:

(3) .

(4) .

יש לשים לב, כי מבוטא ביחידות של ו- מבוטא ביחידות של .כזכור, אנו נשאף לעבור מהמערכת המבוטאת ב- לזו המבוטאת ב- . ()
(משוואה (11) בפתרון המלא של משוואה ממעלה שלישית, בסעיף הקודם).

כעת, נשווה בין משוואות (3) ו-(4) :

השוואה בין צד שמאל של משוואות (3) ו- (4):

.

השוואה בין צד ימין של משוואות (3) ו- (4):

.

נקבל:

(5) .
(6) .
(7) .

כיוון ש: הן פונקציות מחזוריות, בעלות מחזור של [5], נוכל לכתוב את הקשר הבא:

(9) , כאשר: .
( משלים מעגל שלם של , ותוצאותיו של תחזורנה על עצמן).

נקבל:

(10.1) . () עבור .

(10.2) . () עבור .

(10.3) . () עבור .

נמצא את המודול של  : (נכון לגבי כל שלושת שורשי , כלומר: ,, ) :

ממשוואה (3) נקבל את הקשר:
.

ממשוואה (5) נקבל את הקשר:
.

לקבלת הפתרון הכללי של , נחלץ את ממשוואה (4) :

(4) . השוויון האחרון נכון, בזכות משפט דה מואבר.

אבל קיבלנו קודם לכן ש:
.

ואז:

(10.1) עבור

(10.2) עבור

(10.3) עבור

מכאן ניתן לקבל את שלושת הפתרונות של  :

(11.1)

(11.2)

(11.3)

המעבר הראשון הושלם. כעת נבצע את המעבר השני .
זהו הקשר בין (כלומר, נקודת המוצא: השורשים שקיבלנו זה עתה, במונחי ) ובין השורשים אותם אנו חפצים לקבל (נקודת היעד), במונחי
.

קיבלנו קודם לכן את הקשר: .

כיוון שמצאנו קודם לכן כי: , נקבל:

(12) .

בעזרת קשר זה, נמצא כעת את ,, :

(12.1) .

נפשט את השורש שהתקבל:[6]

(12.2) .

נפשט את השורש שהתקבל:

(12.3) .

המעבר השני הושלם. כעת נבצע את המעבר השלישי והאחרון:  :

ממשוואה (2) בסעיף הקודם ("פתרון מלא של משוואה כללית ממעלה שלישית"), נקבל את הקשר:

(13) .

תזכורת: .

לכן:

(14) .

בעזרת קשר זה, נמצא כעת את ,, :

(14.1) .

(14.2) .

(14.3) .

אלו הם שלושת שורשי המשוואה המקורית, שהיה עלינו למצאם () .

בדיקת נכונות הפתרונות (שורשים) שקיבלנו:

על השורשים לקיים את התנאי הבא, זוהי האינדיקציה לנכונות הפתרון:

(15) .

כלומר, אם נציב את ,, שקיבלנו- בצדה השמאלי של משוואה (15) - נקבל את המשוואה המקורית, הנמצאת בצדה הימני של משוואה (15) :

(לאחר פתיחת הסוגריים ופישוט המשוואה).

מ.ש.ל.

תזכורת: הפתרון הסתמך על בחירה שרירותית של השורש: . בחירת השורש השני, - תניב שורשים זהים לחלוטין של בסופו של התהליך- לאלו שקיבלנו זה עתה.

נוסחה לפתרון משוואה ממעלה שלישית[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור המשוואה: נפתור באמצעות הצבה בנוסחה הבאה:

הפתרונות הם:

שיטת קרדאנו[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראשית לפני שנציב בנוסחה לפתרון משוואה ממעלה שלישית לפי שיטה זו, עלינו לחלק את המשוואה הנ"ל במקדם של כך שתתקבל לפנינו משוואה מן הצורה:

עכשיו נציב:

שימו לב: שווה לשורש שלישי של מספר מסוים ועל כן יש לו שלושה פתרונות אפשריים, שהם . עבור כל שנציב יתקבל פתרון שונה (ונכון) עבור .

היתרונות של השיטה הזו לעומת השיטה הקודמת שהנוסחה הרבה יותר קצרה וניתן ללמוד אותה בעל פה ביתר קלות, אולם השימוש במספרים מרוכבים בנוסחה זו מסובך יותר מבנוסחה הקודמת ועל כן יש המחשיבים נוסחה זו למסובכת מן השנייה.

הרחבת שדות על ידי פולינום ממעלה שלישית[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורת גלואה של פולינום אי-פריק ממעלה שלישית היא תת-חבורה טרנזיטיבית של החבורה הסימטרית על שלושת השורשים, ולכן היא שווה לתת-החבורה של התמורות הזוגיות, או לחבורה הסימטרית כולה. במקרה הראשון, למשוואה הריבועית שהוזכרה להלן יש שורשים בשדה (ואז נסמן K=F), ובמקרה השני פתרון המשוואה הריבועית מצריך הרחבה ריבועית K של F. בשני המקרים, הפולינום מתפרק לגורמים לינאריים אחרי הרחבה רדיקלית מסדר 3 של השדה K.

אפשר להפריד בין שני המקרים בעזרת הדיסקרימיננטה של הפולינום, שאותה אפשר לחשב באמצעות הנוסחה . כאשר הפולינום f אי-פריק, הדיסקרימיננטה שלו היא ריבוע בשדה הבסיס, אם ורק אם ההרחבה היא הרחבת גלואה. לעומת זאת, הדיסקרימיננטה של פולינום פריק ממעלה 3 היא ריבועית אם ורק אם הוא מתפצל לגורמים לינאריים (משום ש- ).

בפרט, הדיסקרימיננטה קובעת כמה פתרונות יש למשוואה ממעלה שלישית מעל הממשיים: אם הדיסקרימיננטה חיובית יש שלושה פתרונות ממשיים, ואם היא שלילית יש למשוואה פתרון אחד ממשי ושניים מרוכבים (צמודים זה לזה).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • שבתאי אונגורו, מבוא לתולדות המתמטיקה (בשני חלקים), הוצאת האוניברסיטה המשודרת, 1989.
  • An Introduction to the Theory of Groups, J.J.Rotman, פרק 5, הוצאת Springer-Verlag.
  • ג'ודי ואריה מלמד-כץ, "הגמר הגדול של שנת 1548", גליליאו 97, ספטמבר 2006.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ באנגלית: Depressed cubic equation.
  2. ^ באנגלית: Vieta's substitution.
  3. ^ באנגלית: Tri-quadratic equation.
  4. ^ דרוש הסבר: מדוע שלושת השורשים הראשונים של y - זהים לשלושת האחרים.
  5. ^ למידע נוסף בנושא: הקשר בין רדיאנים ומעלות, אנא לחץ כאן.
  6. ^ נשאף להיפטר מהמכנה, על כן נכפיל את המונה והמכנה של בשבר נוסף, שהן במונה והן במכנה שלו נכתב המספר הצמוד של המכנה של . למידע נוסף אודות מספרים מרוכבים, הצמודים זה לזה, אנא לחץ כאן.