משוואה ממעלה שנייה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משוואה ממעלה שנייה או משוואה ריבועית היא משוואה מהצורה \ ax^2 + bx + c=0 כאשר \ a,b,c הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים). מבחינה גאומטרית, מציאת הפתרון שקולה למציאת חיתוכי הפרבולה \ y=ax^2 + bx + c עם הישר \ y=0.

לרקע היסטורי ראו היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות.

נוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית[עריכת קוד מקור | עריכה]

את הפתרונות למשוואה הריבועית \!\, ax^2+bx+c=0 מקבלים על ידי השלמה לריבוע: כפל ב-\ 4a והוספת הדיסקרימיננטה  \!\, \Delta=b^2-4ac לשני האגפים, מביא את המשוואה לצורה \!\, (2ax+b)^2=\Delta. לאחר הוצאת שורש ריבועי מתקבלים הפתרונות x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}. לעתים (בעיקר בתוכנות מחשב), משתמשים בנוסחה מקבילה: x_{1,2}=\frac{-2c}{b\pm\sqrt{\Delta}}, המתקבלת מהנוסחה המקורית על ידי הכפלת המונה והמכנה בצמוד.

כאשר מקדמי המשוואה הם ממשיים, מספר הפתרונות הממשיים תלוי בדיסקרימיננטה: אם היא גדולה מאפס, יש שני פתרונות. אם היא שווה לאפס, יש פתרון יחיד (אבל כפול), ואם היא קטנה מאפס, אין פתרון. פתרונות מרוכבים קיימים בכל מקרה.

משפט ויאטה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקרה פרטי של משפט ויאטה, הקרוי על שמו של המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט, מציג קשר בין שני שורשיה של משוואה ריבועית. כאשר נתונה המשוואה הריבועית הכללית \ ax^2 + bx + c=0

ושורשיה הם \ x_{1} , x_{2}, הרי מתקיים הקשר הבא:

\ x_{1} \cdot x_{2}=\frac{c}{a}


\ x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}

קל להוכיח קשר זה על בסיס נוסחת השורשים המופיעה לעיל.

משפט ויאטה נותן טכניקה נוספת לפתרון משוואה ריבועית, ובמשוואות פשוטות (כאלה שמקדמיהן הן מספרים שלמים קטנים) הוא מאפשר להגיע אל הפתרון בצורה מיידית.

בנוסחאות אלה אפשר להשתמש גם כדי לבדוק מתי שורשי המשוואה שוני סימן, שווי סימן, חיוביים ושליליים.

התנאים שוני סימן שווי סימן שניהם חיוביים שניהם שליליים
\ \frac{c}{a}<0[1] \ \Delta>0
\ c/a>0
\ \Delta>0
\ c/a>0
\ -b/a>0
\ \Delta>0
\ c/a>0
\ -b/a<0

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ אין צורך בתנאי \ \Delta>0 כי הוא נובע מהתנאי \ c/a<0