המשפט היסודי של האלגברה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

המשפט היסודי של האלגברה קובע ששדה המספרים המרוכבים הוא סגור אלגברית, כלומר שלכל פולינום עם מקדמים מרוכבים (שמעלתו חיובית) יש שורש. חרף שמו של המשפט, אין לו הוכחה 'אלגברית' (כזו שאינה מבוססת על השלמות של השדה הממשי), וגם אין לו תפקיד מרכזי במיוחד בפיתוח של האלגברה המודרנית.

המשפט נובע ממשפט ליוביל מאנליזה מרוכבת, שכן אם אין לפולינום \ f(z) שורש, קל להוכיח שהפונקציה \ \frac{1}{f(z)} היא אנליטית וחסומה, ולכן קבועה.

הוכחה סטנדרטית שנייה באמצעות תורת גלואה, מבוססת על משפט ערך הביניים (שממנו נובע כי לכל פולינום ממעלה אי־זוגית עם מקדמים ממשיים יש שורש ממשי), ועל ההבחנה שלכל מספר מרוכב יש שורש ריבועי. הוכחה זו מסובכת יותר, אבל איננה תלויה בתורת הפונקציות המרוכבות.

מן המשפט נובע שאם סופרים שורשים של פולינום על פי הריבוי שלהם, אז לכל פולינום ממעלה n יש בדיוק n שורשים במספרים המרוכבים. הריבוי של שורש a לפולינום f שווה לחזקה הגדולה ביותר של \ (z-a) המחלקת את \ f(z). בניסוח אחר, a הוא שורש מריבוי k אם הוא מאפס את הנגזרת \ f^{(k-1)} אבל לא את \ f^{(k)} (זוהי גרסה חזקה של המשפט הקטן של בזו). הוכחת מסקנה זו פשוטה: אם הפולינום ממעלה חיובית n, אז יש לו שורש a ולפי המשפט הקטן של בזו אפשר לחלק אותו בפולינום z-a. מקבלים פולינום ממעלה n-1, שאם אינו ממעלה 0, גם לו יש שורש שהוא גם שורש של הפולינום המקורי. חוזרים על התהליך n פעמים ומקבלים n שורשים.

מהמסקנה האחרונה נובע שכל פולינום מעל המרוכבים מתפרק לגורמים לינאריים. הפולינום: \ p(z) = a_{0} + a_{1} z + a_{2} z^{2} + ... + a_{n - 1} z^{n - 1} + a_{n} z^{n}  , ניתן להצגה בתור: \ p(z)  = a_{n} (z - \alpha_1)\cdot(z - \alpha_2)\cdot...\cdot(z - \alpha_{n-1})\cdot(z - \alpha_n) כאשר \ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},...,\alpha_{n}  הם שורשיו של הפולינום p.

מסקנה נוספת מן המשפט הוא שכל פולינום בעל מקדמים ממשיים מתפרק למכפלת פולינום עם גורמים ממשיים שמעלת כל גורם היא 1 או 2. זאת מכיוון שניתן לפרק את הפולינום לגורמים לינאריים מעל המרוכבים, ואז לנצל את העובדה שאם מספר מרוכב הוא שורש של פולינום ממשי כך גם הצמוד שלו. הכפלת הזוגות של הגורמים הלינאריים המתאימים לשורשים צמודים תתן פולינום בעל מקדמים ממשיים ממעלה 2.

מן המשפט נובע שכל פולינום מעל המרוכבים מקבל כל ערך מרוכב (כלומר הוא מעתיק את המישור המרוכב על עצמו). זאת מכיוון שהטענה שלמשוואה p(z)=z_0 יש פתרון שקולה לטענה שלפולינום p(z)-z_0 יש שורש.

הוכחה באמצעות תורת גלואה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה זו מבוססת על העובדה ששדה המספרים הממשיים סגור ממשית, ולכן לכל פולינום ממעלה אי-זוגית מעליו יש שורש (ממשי). מכאן שפולינום אי-פריק ממעלה אי-זוגית מוכרח להיות לינארי.

נניח בשלילה שקיימת הרחבה ממימד סופי \ K/\mathbb{C}. מכיוון שגם \ K/\mathbb{R} ממימד סופי, קיימת הרחבה נורמלית ממימד סופי המכילה אותה. מכיוון שכל הרחבה נורמלית מעל שדה ממאפיין אפס היא ספרבילית, נובע ש\ K היא הרחבת גלואה.

תהי \ G = \mathrm{Gal}(K/\mathbb{R}) חבורת גלואה של ההרחבה \ K/\mathbb{R}. תהי \ H חבורת 2-סילו של \ G. האינדקס \ [G:H] של \ H ב-\ G הוא אי זוגי. לכן הממד של שדה השבת \ L=K^{H} מעל \ \mathbb{R} הוא אי-זוגי, אבל אז הפולינום המינימלי של כל איבר הוא לינארי, כלומר \ L = \mathbb{R}. מהמשפט היסודי של תורת גלואה נובע ש-G=H, כלומר \ G היא חבורת-2, כלומר הסדר שלה הוא חזקה של 2. לכן קיימת לה תת-חבורה מאינדקס 2 \ N . שוב מהמשפט היסודי של תורת גלואה נובע שקיימת הרחבת ביניים \ \mathbb{C} \le M \le K כך ש-\ [M:\mathbb{C}] = [G:N] = 2. אבל כל פולינום ממעלה 2 מעל \mathbb{C} מתפרק לגורמים לינאריים לפי הנוסחה לפתרון משוואה ממעלה שנייה והוצאת שורש לפי משפט דה מואבר. מכאן ש-N=1 והממד של K מעל הממשיים הוא 2, כלומר \ K = \mathbb{C}.

הוכחה באמצעות טופולוגיה אלגברית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה זו מסתמכת על החבורה היסודית של מעגל היחידה, שכידוע מקיימת \pi_1(S^1,1)\cong\mathbb{Z}. נשתמש בסימון \alpha_n למסילה \alpha_n(s)=e^{2\pi isn} שמקיפה את המעגל n פעמים (כשהסימן של n הוא הכיוון). אנו יודעים כי כל מסילה כזו נמצאת במחלקת שקילות אחרת בחבורה היסודית של מעגל היחידה.

יהי p(z) פולינום מדרגה n. נוכל להניח בלי הגבלת הכלליות כי הפולינום מתוקן ונוכל לרשום p(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_{0}. נניח כעת כי לפולינום אין שורשים, ונוכיח שנובע n=0.

לכל 0\leq r\in\mathbb{R} נגדיר מסילה f_r(s)=\frac{p(re^{2\pi i s})/p(r)}{|p(re^{2\pi i s})/p(r)|}. קל להבחין כי זו מסילה על מעגל היחידה (S^1\subset\mathbb{C}) עם נקודות קצה f_r(0)=f_r(1)=1.
עבור r=0, מתקיים f_0(s)=\frac{p(0)/p(0)}{|p(0)/p(0)|}=1, ולכן f_0=\alpha_0.
בנוסף, ברור כי לכל r המסילות f_r ו-f_0 הן הומוטופיות (בעזרת ההומוטופיה F(t,s)=f_t(s)), ומכאן f_r\sim f_0=\alpha_0.

נקבע r גדול יותר מ-1 וגדול יותר מ-|a_{n-1}|+\cdots+|a_0|. כעת, לכל z כך ש-|z|=r מתקיים:

|a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0| \leq|a_{n-1}||z^{n-1}|+\cdots+|a_0| =|a_{n-1}|r^{n-1}+\cdots+|a_0| \leq|a_{n-1}|r^{n-1}+\cdots+|a_0|r^{n-1} =r^{n-1}(|a_{n-1}|+\cdots+|a_0|) <r^n =|z^n|

כלומר |a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0|<|z^n|.
מכאן שלכל t\in[0,1] לפולינום p_t(z)=z^n+t(a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0) אין שורשים המקיימים |z|=r.

לכל t\in[0,1] נגדיר g_t(s)=\frac{p_t(re^{2\pi i s})/p_t(r)}{|p_t(re^{2\pi i s})/p_t(r)|}.
עבור t=0 מקבלים p_0(z)=z^n ולכן g_0(s)=\frac{(re^{2\pi i s})^n/r^n}{|(re^{2\pi i s})^n/r^n|}=e^{2\pi i s n}, פירוש הדבר g_0=\alpha_n.
עבור t=1 מקבלים p_1(z)=p(z) ולכן g_1(s)=f_r(s).
כמקודם, מתקיים שהמסילות g_0 הומוטופית g_1 (בעזרת ההומוטופיה G(t,s)=g_t(s)).

לסיכום, \alpha_0=f_0\sim f_r=g_1\sim g_0=\alpha_n, ולכן \alpha_0\sim \alpha_n, ומהחישוב עבור החבורה היסודית של המעגל, הנ"ל מתקיים אם ורק אם n=0, כנדרש.


אנליזה מרוכבת

מספר מרוכבשדה המספרים המרוכביםפונקציה מרוכבתפונקציה הולומורפיתפונקציה שלמהנוסחת אוילרמשוואות קושי-רימןמשפט אינטגרל קושינוסחת אינטגרל קושימשפט ליובילהמשפט היסודי של האלגברהטור לורןסינגולריותקוטבמשפט השאריותעקרון הארגומנטמשפט רושה

אנליזה מתמטיתחשבון אינפיניטסימליאנליזה וקטוריתטופולוגיהאנליזה מרוכבתאנליזה פונקציונליתתורת המידה