המשפט היסודי של האלגברה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

המשפט היסודי של האלגברה קובע שלכל פולינום לא קבוע עם מקדמים מרוכבים יש לפחות שורש מרוכב אחד. זה כולל כמובן פולינומים עם מקדמים ממשיים שכן כל מספר ממשי הוא בפרט מרוכב עם חלק מדומה 0.

באפן שקול, המשפט אומר ששדה המספרים המרוכבים הוא שדה סגור אלגברית (שכן זאת ההגדרה של שדה סגור אלגברית). לסגירות אלגברית יש מספר הגדרות שקולות שתקפות למספרים מרוכבים, למשל:

לעומת שמו של המשפט, אין לו הוכחה אלגברית שכן הגדרת המספרים המרוכבים דורשת את תכונת השלמות של שדה המספרים הממשיים, ודרוש שימוש כלשהו בה.

המשפט נובע ממשפט ליוביל מאנליזה מרוכבת, שכן אם אין לפולינום שורש, קל להוכיח שהפונקציה היא אנליטית וחסומה, ולכן קבועה.

הוכחה סטנדרטית שנייה באמצעות תורת גלואה, מבוססת על משפט ערך הביניים (שממנו נובע כי לכל פולינום ממעלה אי־זוגית עם מקדמים ממשיים יש שורש ממשי), ועל ההבחנה שלכל מספר מרוכב יש שורש ריבועי. הוכחה זו מסובכת יותר, אבל איננה תלויה בתורת הפונקציות המרוכבות.

מן המשפט נובע שכל פולינום מעל המרוכבים מקבל כל ערך מרוכב (כלומר הוא מעתיק את המישור המרוכב על עצמו). זאת מכיוון שהטענה שלמשוואה יש פתרון שקולה לטענה שלפולינום יש שורש.

מסקנה מהמשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

מסקנה חשובה מאוד של המשפט היא מיון פולינומים אי-פריקים מעל הממשיים. יהי פולינום בעל מקדמים ממשיים ונאמר שהוא אי פריק מעל הממשיים. נפרק אותו לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים: . אפשר לראות די בקלות כי עבור שורש מרוכב של p, גם הצמוד של המספר הזה הוא שורש מרוכב של p. לכן, ניתן לכתוב מחדש כאשר שורש לא ממשי (בהנחה שיש כזה, אם אין אז p בבירור ליניארי כי הוא אי-פריק) ועכשיו, אפשר להסתכל על p כמכפלה של פולינום ממשי (אם נפתח סוגריים, נראה כי כל המקדמים ממשיים) ופולינום מרוכב אחר. הפולינום המרוכב הזה הוא גם ממשי, כי הוא מכפלה של ביטויים מצורה דומה. לכן, בהנחה שהפולינום הנוסף הזה הוא לא הפולינום הקבוע 1, קיבלנו סתירה לאי-פריקות p מעל הממשיים. סך הכול קיבלנו את המשפט הבא:

כדי ש-p יהיה פולינום אי-פריק מעל הממשיים, הוא חייב להיות ליניארי או ריבועי.

מסקנה נוספת היא שכל פולינום מרוכב מקבל כל ערך אפשרי, שכן הוא גם פולינום, כלומר הוא מתאפס וסיימנו.

הוכחות למשפט היסודי[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה באמצעות משפט ליוביל[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור פולינום, ניתן . אם נסתכל על הפונקציה , הגבול שלה לאינסוף הוא 0, ומהיותה פונקציה שלמה, זה אומר שהיא חסומה. ממשפט ליוביל זה אומר שהיא קבועה, לכן גם הפולינום.

הוכחה באמצעות עיקרון המינימום[עריכת קוד מקור | עריכה]

עיקרון המינימום הוא מסקנה מעקרון המקסימום האומרת כי עבור פונקציה הולומורפית לא קבועה עבור U קבוצה פתוחה וקשירה (תחום), ל-יש מינימום מקומי ב-אם ורק אם . ההוכחה של עיקרון המינימום היא להניח בשלילה אחרת, ולהסתכל על הפונקציה שמקבלת מקסימום מקומי ב-, דבר הנוגד את עיקרון המקסימום. פולינום היא פונקציה כזו על כל , ומתקיים שעבור פולינום, ולכן ניתן למצוא מינימום גלובלי לפונקציה (קיים מינימום מקומי בקבוצה סגורה גדולה מספיק, כך שמחוץ לה, הוא גדול מידי). המינימום הגלובלי הזה, מעיקרון המינימום, הוא 0 וזה מסיים את ההוכחה.

הוכחת באמצעות תורת גלואה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה זו מבוססת על משפט ערך הביניים, ממנו ניתן להסיק כי לכל פולינום ממעלה אי-זוגית מעליו יש שורש (ממשי). מכאן שפולינום אי-פריק ממעלה אי-זוגית מוכרח להיות ליניארי.

נניח בשלילה שקיימת הרחבה ממימד סופי . מכיוון שגם ממימד סופי, קיימת הרחבה נורמלית ממימד סופי המכילה אותה. מכיוון שכל הרחבה נורמלית מעל שדה ממאפיין אפס היא ספרבילית, נובע ש היא הרחבת גלואה.

תהי חבורת גלואה של ההרחבה . תהי חבורת 2-סילו של . האינדקס של ב- הוא אי זוגי. לכן הממד של שדה השבת מעל הוא אי-זוגי, אבל אז הפולינום המינימלי של כל איבר הוא ליניארי, כלומר . מהמשפט היסודי של תורת גלואה נובע ש-G=H, כלומר היא חבורת-2, כלומר הסדר שלה הוא חזקה של 2. לכן קיימת לה תת-חבורה מאינדקס 2 . שוב מהמשפט היסודי של תורת גלואה נובע שקיימת הרחבת ביניים כך ש-. אבל כל פולינום ממעלה 2 מעל מתפרק לגורמים ליניאריים לפי הנוסחה לפתרון משוואה ממעלה שנייה והוצאת שורש לפי משפט דה מואבר. מכאן ש-N=1 והממד של K מעל הממשיים הוא 2, כלומר .

הוכחה באמצעות טופולוגיה אלגברית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה זו מסתמכת על החבורה היסודית של מעגל היחידה, שכידוע מקיימת . נשתמש בסימון למסילה שמקיפה את המעגל פעמים (כשהסימן של הוא הכיוון). אנו יודעים כי כל מסילה כזו נמצאת במחלקת שקילות אחרת בחבורה היסודית של מעגל היחידה.

יהי פולינום מדרגה . נוכל להניח בלי הגבלת הכלליות כי הפולינום מתוקן ונוכל לרשום . נניח כעת כי לפולינום אין שורשים, ונוכיח שנובע .

לכל נגדיר מסילה . קל להבחין כי זו מסילה על מעגל היחידה () עם נקודות קצה .
עבור , מתקיים , ולכן .
בנוסף, ברור כי לכל המסילות ו- הן הומוטופיות (בעזרת ההומוטופיה ), ומכאן .

נקבע גדול יותר מ- וגדול יותר מ-. כעת, לכל כך ש- מתקיים:

כלומר .
מכאן שלכל לפולינום אין שורשים המקיימים .

לכל נגדיר .
עבור מקבלים ולכן , פירוש הדבר .
עבור מקבלים ולכן .
כמקודם, מתקיים שהמסילות הומוטופית (בעזרת ההומוטופיה ).

לסיכום, , ולכן , ומהחישוב עבור החבורה היסודית של המעגל, הנ"ל מתקיים אם ורק אם , כנדרש.


קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]