אידמפוטנט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Incomplete-document-purple.svg יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי. סיבה: מדובר כאן רק על אלגברה. אפשר לראות בוויקיפדיה האנגלית, שמקושרת לערך הזה, שהמושג מתקשר לתחומים נוספים. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.

באלגברה, אידמפוטנט הוא איבר e של חוג או של מבנה אלגברי אחר, המקיים את השוויון \ e^2 = e. פרט ל-0 (איבר האפס), שאינו נחשב בדרך כלל לאידמפוטנט, איבר היחידה הוא אידמפוטנט טריוויאלי; ואכן, האידמפוטנטים קרובים להיות איברי יחידה, לפחות באופן מקומי, וזה תפקידם בתורת המבנה של חבורות למחצה ושל חוגים.

בחוג, אידמפוטנטים e ו- f המקיימים את התנאי ef=fe=0 נקראים אידמפוטנטים אורתוגונליים. לדוגמה, אם e הוא אידמפוטנט, אז גם \ 1-e אידמפוטנט, והשניים אורתוגונליים זה לזה. אם אי-אפשר לפרק אידמפוטנט e לסכום \ e = e'+e'' של אידמפוטנטים אורתוגונליים, אז e הוא אידמפוטנט פרימיטיבי.

אידמפוטנטים והמבנה של חוגים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אידמפוטנטים מרכזיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אידמפוטנט המתחלף עם כל אברי החוג נקרא אידמפוטנט מרכזי. הדוגמה הטיפוסית מופיעה בחוגים המתפרקים לסכום ישר: אם \ R = R_1 \oplus R_2, אז \ e = (1,0) הוא אידמפוטנט מרכזי. גם להפך, אם e אידמפוטנט מרכזי של R, אז אפשר לפרק \ R = Re \oplus R(1-e), וזהו סכום ישר של תת-חוגים. (חוג שבו כל האידמפוטנטים מרכזיים נקרא חוג אבלי).

פירוק פירס[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל אידמפוטנט e בחוג אסוציאטיבי R, גם אם אינו מרכזי, \ eRe = \{exe : x \in R\} הוא תת-חוג של R, עם יחידה משלו - e. פירוק פירס של החוג הוא הפירוק לסכום ישר של חבורות \ R = eRe \oplus eR(1-e) \oplus (1-e)Re \oplus (1-e)R(1-e), שבו שני המרכיבים \ eRe ו- \ (1-e)R(1-e) הם תת-חוגים עם היחידות e ו- \ 1-e, ואילו שני האחרים הם בי-מודולים מעליהם (האחד ימני ושמאלי, והשני שמאלי וימני, בהתאמה).

הדוגמה הטיפוסית לאידמפוטנט שאינו מרכזי היא יחידת המטריצות \ e_{11} בחוג מטריצות. פירוק פירס של אלגברת המטריצות \ \operatorname{M}_2(F) נותן את ארבעת המרכיבים הטבעיים \ F e_{ij}. באלגברת מטריצות \ \operatorname{M}_n(A), היחידות \ e_{ii} הן אידמפוטנטים אורתוגונליים ופרימיטיביים שסכומם 1.

לפירוק פירס בכמה מחלקות לא אסוציאטיביות, ראו אלגברה אלטרנטיבית#הרחבות מרכזיות ופירוק פירס, אלגברת ז'ורדן#פירוק פירס, אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית#פירוק פירס.

הרמת אידמפוטנטים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם לכל איבר a של אידאל A בחוג R, המשלים \ 1-a הפיך, ובנוסף לזה כל אידפוטנט של חוג המנה \ R/A הוא מהצורה \ e+A כאשר e אידמפוטנט של R, אז A הוא אידאל מרים אידמפוטנטים. אם A הוא אידאל כזה, אז אפשר להרים כל מערכת סופית או בת-מניה של אידמפוטנטים אורתוגונליים בחוג המנה, למערכת מתאימה ב-R (טענה זו אינה נכונה למערכות שמספר איבריהן אינו בן-מניה). בנוסף לזה אפשר להרים גם מערכות של יחידות מטריצות, וכך, אם חוג המנה הוא חוג מטריצות, זהו גם המבנה של החוג R עצמו.

כל אידאל נילי הוא מרים אידמפוטנטים. אם R סגור בטופולוגיה ה-A-אדית, אז A מרים אידמפוטנטים. באופן כללי, אידאל A המוכל ברדיקל ג'ייקובסון של החוג הוא אידאל מרים אידמפוטנטים, אם ורק אם לכל מחובר ישר של R/A (כמודול מעל R) יש כיסוי פרויקטיבי (כיסוי פרויקטיבי של מודול M הוא מודול פרויקטיבי P עם הטלה \ f : P \rightarrow M שהגרעין שלה הוא תת-מודול קטן).

בחוג קומוטטיבי מקסימלי (נקרא גם קומפקטי לינארית[1]), רדיקל ג'ייקובסון מרים אידמפוטנטים; חוג מקסימלי הוא מכפלה סופית של חוגים מקסימליים מקומיים.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ חוג הוא קומפקטי לינארית אם כאשר לכל תת-קבוצה סופית של מערכת משוואות \ x \equiv a_i \pmod{L_i} יש פתרון, אז יש פתרון גם למערכת כולה