הצמדה (תורת החבורות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת החבורות, הצמדה היא סוג של פעולה של חבורה על עצמה. הצמדה של באמצעות היא הפעולה . הצמדה מהווה אוטומורפיזם פנימי של החבורה על עצמה. פעולת ההצמדה מסומנת גם בצורות הבאות:

איברים צמודים ומחלקת צמידות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נאמר על שני איברים ו- בחבורה שהם איברים צמודים אם קיים כך שמתקיים:

יחס הצמידות בין איברים הוא יחס שקילות:

( איבר היחידה בחבורה).
.
  • טרנזיטיביות - אם ו- אז:

אוסף האיברים בחבורה שצמודים לאיבר נתון נקראת מחלקת הצמידות של . מכיוון שצמידות היא יחס שקילות, כל מחלקת צמידות היא מחלקת שקילות – כל איבר בחבורה נמצא במחלקת צמידות אחת בדיוק.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • פעולת ההצמדה מתחלפת עם פעולת הכפל: . במילים אחרות הפונקציה היא אוטומורפיזם. אוטומורפיזם מהצורה הזו נקרא אוטומורפיזם פנימי (ראו חבורת האוטומורפיזמים). מתכונה זו נובע בין השאר:
    • אם צמודים, אז גם צמודים.
    • לאיברים צמודים יש את אותו הסדר.
  • כל איבר במרכז של חבורה צמוד רק לעצמו (). בפרט, איבר היחידה צמוד רק לעצמו, ובחבורה אבלית כל מחלקות הצמידות הן יחידונים.
  • מספר האיברים שצמודים לאיבר נתון הוא האינדקס של המְרַכֵּז של האיבר (חבורת האיברים שמתחלפים עם האיבר). שוויון זה מוביל למשוואת המחלקות בחבורה סופית:
כאשר הוא המרכז של G, הוא המְרַכֵּז של ו-I היא קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ב-G של איברים שאינם ב-.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]