טור אייזנשטיין

טורי אייזנשטיין, באנליזה מרוכבת, הם תבניות מודולריות בעלות פיתוחים לטורים אינסופיים שניתנים לרישום ישיר, וקרויים על שם המתמטיקאי היהודי-גרמני פרדיננד אייזנשטיין. מבחינה היסטורית, טורי אייזנשטיין הם מן הדוגמאות המפורשות הראשונות לתבניות מודולריות. למרות שבמקור הם הוגדרו עבור החבורה המודולרית, ניתן להכליל אותם לחבורות כלליות יותר במסגרת התורה של תבניות אוטומורפיות.

רקע היסטורי

הפיתוח לטורי אייזנשטיין של פונקציות מרוכבות מסוימות צמח מתוך התאוריה של פונקציות אליפטיות, שפותחה במהלך העשורים הראשונים של המאה ה-19. כפי שאייזנשטיין עצמו הדגיש במאמרו מ-1847 המציג את הטורים הללו, התקדים המתמטי שלהם היה הפיתוחים האינסופיים של הפונקציות המעגליות לשברים חלקיים שנתגלו על ידי לאונרד אוילר במהלך המאה ה-18, למשל:

$\pi \mathbb {cot} (\pi x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x+n}}$

מן הצורה של הטור נובע מיידית שערך הסכום באגף ימין נותר ללא שינוי כאשר $x$ מוחלף ב-$x+1$; ולפיכך המחזור 1 של הפונקציה $\pi \mathbb {cot} (\pi x)$ מתגלה ישירות כבר ממבט על הפיתוח לטור שלה. אייזנשטיין הראה שפונקציות אליפטיות, אשר הן פונקציות בעלות שתי מחזורים בלתי תלויים (מעל R) במישור המרוכב, ניתנות לכתיבה על ידי ביטויים אנלוגיים לביטוי שתואר מקודם, כמו למשל:

$\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2k}}}$

כאשר $k$ מספר טבעי ו-$\omega _{1},\omega _{2}$ הם מספרים מרוכבים כלשהם. בדומה למקרה החד-ממדי (שתואר מקודם), טור זה נותר ללא שינוי כאשר מחליפים את $z$ ב-$z+\omega _{1}$ או ב-$z+\omega _{2}$. מאוחר יותר במהלך המאה ה-19 נתגלה שטור אייזנשטיין עם חזקה $2k$ הוא תבנית מודולרית ממשקל $2k$.

טורי אייזנשטיין עבור החבורה המודולרית

יהי $\tau$ מספר מרוכב עם חלק מדומה חיובי. נגדיר את טור אייזנשטיין ההולומורפי $G_{2k}(\tau )$ ממשקל $2k$ על ידי הטור הבא:

$G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.$

טור זה מתכנס בהחלט לפונקציה הולומורפית של $\tau$ בחצי המישור העליון. זוהי עובדה מפתיעה שטור אייזנשטיין הוא תבנית מודולרית. למעשה, תכונת המפתח שלו היא שסכומו מותמר באופן מסוים תחת פעולת $SL(2,\mathbb {Z} )$. באופן מפורש יותר, אם $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ ומתקיים $ad-bc=1$, אז:

$G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )$

הוכחה

נרשום את טור אייזנשטיין החדש, שבו $\tau$ מוחלף ב-$\tau '={\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}$:

${\begin{aligned}G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{\left(m+n{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)^{2k}}}\\&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{(md+nb+(mc+na)\tau )^{2k}}}\\&=\sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}\end{aligned}}$

אם $ad-bc=1$ אז:

${\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}\ a&-c\\-b&\ d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ a&-c\\-b&\ d\end{pmatrix}}$

כלומר לכל זוג סדור $(m',n')$ יש מקור יחיד $(m,n)$, כך ש-

$(m,n)\mapsto (m,n){\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}$

היא התאמה חד-חד ערכית ועל $\mathbb {Z} ^{2}$ → $\mathbb {Z} ^{2}$. כלומר:

$\sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}=\sum _{\left(m',n'\right)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m'+n'\tau )^{2k}}}=G_{2k}(\tau )$

כך שבסיכום הכל, אם $ad-bc=1$ אז:

$G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )$

ו-$G_{2k}(\tau )$ הוא על כן תבנית מודולרית ממשקל $2k$.

הערה: נשים לב גם שהוכחה זאת מצביעה למעשה שטורי אייזנשטיין מן הצורה $G_{n}(i)$ מתאפסים זהותית עבור משקלים שאינם כפולה שלמה של 4; $G_{n}(\tau )$ הוא תבנית מודולרית ממשקל $n$ במשתנה $\tau$, ולכן טרנספורמציה של $\tau =i$ אל עצמו על ידי ההצבה $\tau '={\frac {-1}{\tau }}$ (טרנספורמציה זאת משתייכת לחבורה המודולרית) מתמירה את ערך טור אייזנשטיין באופן הבא: $G_{n}(\tau ')=\tau ^{n}G_{n}(\tau )$. מכיוון ש-$\tau '=\tau =i$ מקבלים שטרנספורמציה זו מותירה את ערך הטור בעינו, כך ש- $G_{n}(\tau )=C\cdot G_{n}(\tau )$. עבור $n\neq 0{\pmod {4}}$ מקבלים $C\neq 1$, מה שגורר מיידית $G_{n}(i)=0$.

סכימת טורי אייזנשטיין

על אף שעבודתו זו כלל לא פורסמה בזמנו, קרל פרידריך גאוס היה הראשון לחשב סכומים של טורי אייזנשטיין, כפי שעולה מהערה 61 מיומנו. באנלוגיה לפתרון בעיית בזל, שם הקבוע $\pi =2\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ משחק תפקיד מרכזי בחישוב ערכי פונקציית זטא $\zeta (s)$ עבור ערכים זוגיים של $s$, גילה גאוס שקבוע הלמניסקטה $\varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}$ משחק תפקיד מרכזי בסכימה של טורי אייזנשטיין. גאוס מצא שהערכים של $G_{4k}(i)$, המייצגים את הטור:

$\sum _{z\in \mathbb {Z} [i]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4k}}}=G_{4k}(i)$

(כאשר $\mathbb {Z} [i]$ הם השלמים הגאוסיים ו-$G_{4k}(\tau )$ הוא טור אייזנשטיין ממשקל $4k$) שווים לקבוע רציונלי כפול חזקה מתאימה של קבוע הלמניסקטה - $\varpi ^{4k}$. באמצעות התאוריה שלו על פונקציות אליפטיות, הוא סכם מקרים פרטיים של טורי אייזנשטיין, ומצא למשל כי:

$G_{4}(i)=\sum _{z\in \mathbb {Z} [i]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4}}}={\frac {\varpi ^{4}}{15}}$

$G_{8}(i)=\sum _{z\in \mathbb {Z} [i]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{8}}}={\frac {\varpi ^{8}}{525}}$

וכו'. אולם, המתמטיקאי הראשון שהגיע לממצאים אלו (באופן בלתי תלוי) וגם פרסם אותם היה אדולף הורוויץ, לקראת סוף המאה ה-19. הורוויץ מצא ש-:

$G_{4k}(i)={\frac {(2\varpi )^{4k}}{(4k)!}}H_{4k}$

כאשר $H_{4k}$ נקראים מספרי הורוויץ וערכיהם הראשונים הם: $H_{4}={\frac {1}{10}},H_{8}={\frac {3}{10}}$. מספרי הורוויץ $H_{n}$ מתאפסים עבור ערכים של $n$ שאינם כפולות שלמות של 4 בגלל תכונות הסימטריה והמודולריות של טורי אייזנשטיין (הוכחה לכך הובאה מקודם).

ראו גם

• תבנית מודולרית