טור המספרים הטבעיים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

טור המספרים הטבעיים הוא תוצאת החיבור של סדרת המספרים הטבעיים, מ-1 ועד אינסוף (\ 1+2+3+\cdots). טור זה אינו מתכנס, ולכן אין לו סכום במובן הרגיל של המילה. מצד שני, ניתן בהנחות המתאימות להגיע לתוצאה המוזרה \ 1+2+3+\cdots=-\frac{1}{12}. חישוב זה מבוסס על שיטות סיכום המשתמשות בפונקציית זטא של רימן ובסיכום רמנוג'אן[1]

למרות שבמבט ראשון לא נראה שלסכום סדרת המספרים הטבעיים יהיה שימוש מעשי כלשהו, נעשה בו שימוש במספר תחומים מדעיים, כגון: אנליזה מרוכבת, תורת שדות קוונטית ותורת המיתרים. בתורת המיתר הבוזוני, למשל, שימוש בסכום זה מביא לתוצאה של קיומם של 26 ממדים למרחב (ממד זמן, ממד אורך ו־24 ממדים נוספים).[2].


סיכום לא סטנדרטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

טור המספרים הטבעיים מתבדר משום שהאיבר הכללי שלו אינו שואף לאפס. עם זאת, אפשר לטפל בו אם מרחיבים את מושג הסיכום של טורים, באופן הבא.

ההגדרה הסטנדרטית לסכום של הטור האינסופי \ \sum_{n=1}^{\infty}a_n היא כגבול של סדרת הסכומים החלקיים \ S_n = \sum_{k=1}^{n}a_k, בתנאי שהגבול הזה קיים. באופן יותר פורמלי, אפשר להתבונן באוסף כל הסדרות הממשיות \mathbb{R}^{\mathbb{N}}, שהוא מרחב וקטורי מעל הממשיים, ובתוכו בתת-המרחב V של הסדרות שהטורים שלהן מתכנסים. אופרטור הסיכום הוא פונקציונל לינארי \ \Sigma : V \rightarrow \mathbb{R} המחזיר על הסדרה \ (a_1,a_2,\dots) את הסכום שלה, \ \Sigma(a_1,a_2,\dots) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n. אבל מדוע לעצור כאן? גם אם מכירים בכך שיש טורים שאי אפשר לסכם, אפשר לקוות שנצליח להרחיב את פונקציונל הסכום לתת-מרחבים גדולים יותר. בבעיה זו מטפלת תורת הסומביליות (שיטות סיכום).‏[3]

לדוגמה, שיטת הסיכום של אבל (שפיתח נילס הנריק אבל) מוגדרת באופן הבא: \ \Sigma'(a_1,a_2,\dots) = \lim_{x \rightarrow 1^-}\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n, גם כאן בתנאי שהגבול קיים. כל טור מתכנס (במובן הרגיל) ניתן לסיכום גם לפי אבל, אבל יש גם טורים שאינם מתכנסים במובן הרגיל, שאפשר לסכם אותם בשיטת אבל. לדוגמה, השוויון \ x-2x^2+3x^3-4x^4+5x^5-\cdots = \frac{x}{(x+1)^2} נכון לכל \ |x|<1[4], והגבול כאשר x שואף ל-1 מלמטה גם הוא קיים, ושווה ל-\ \frac{1}{4}, על ידי הצבת x=1 בפונקציה מימין. לפיכך, אפשר לומר שלפי אבל \ 1-2+3-4+5-\cdots = \frac{1}{4}, למרות שהגבול אינו קיים במובן הרגיל. באופן הזה, שיטת הסיכום של אבל מגדירה פונקציונל \ \Sigma' : V' \rightarrow \mathbb{R}, כאשר 'V הוא המרחב הווקטורי של כל הסדרות המתכנסות לפי אבל (המכיל את המרחב הווקטורי V של הסדרות המתכנסות במובן הרגיל, וגם סדרות נוספות כמו \ (1,-2,3,-4,5,\cdots)).

טור המספרים הטבעיים, \ 1+2+3+4+5+\cdots, אינו מתכנס אפילו לפי אבל (כלומר, הסדרה \ \alpha = (1,2,3,4,5,\dots) אינה שייכת למרחב 'V). כדי לסכם אותה בכל זאת, צריך להרחיב עוד יותר את מרחב הסדרות שאפשר לסכם. בהרחבה סתמית יש מעט מאד תועלת, משום שפורמלית אפשר להתבונן במרחב הווקטורי \ V' + \mathbb{R}\alpha, ולהגדיר את הסכום של \ \alpha כרצוננו. כדי להגביל את טווח האפשרויות ולקבל שיטות סיכום משמעותיות יותר, מניחים שפעולות טבעיות מסוימות אינן משנות את הסכום. למשל, נגדיר את אופרטור המתיחה P : \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathbb{R}^{\mathbb{N}} לפי \ P(a_1,a_2,a_3,a_4,\dots) = (0,a_1,0,a_2,0,a_3,\dots). קל להראות שהמתיחה שומרת על המרחב 'V של אבל, ואינה משנה את הסכום שם. יתרה מזו, אם נסמן \ \alpha = (1,2,3,4,5,\dots), נגלה ש-\ \alpha - 4P(\alpha) = (1,-2,3,-4,5,\dots). כעת, אם נניח שאפשר להרחיב את הסכום של אבל לשיטת סיכום \ \Sigma'' המוגדרת על מרחב V שמכיל את הסדרה \ (1,2,3,4,5,\dots) וסגור למתיחה, ונניח בנוסף שמתיחה אינה משנה את הסכום ב-V, נקבל מיד ש-\ -3\Sigma''(\alpha) = \Sigma'(\alpha - 4 P(\alpha)) = \Sigma'(1,-2,3,-4,5,\dots) = \frac{1}{4}, כלומר, לפי שיטת הסיכום המוכללת הזו, \ 1+2+3+4+\cdots = -\frac{1}{12}.

חישוב בעזרת פונקציית זטא של רימן[עריכת קוד מקור | עריכה]

הטור \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} מתכנס לכל s מרוכב שהחלק הממשי שלו גדול מ-1. הטור מגדיר פונקציה אנליטית \zeta(s) שיש לה המשכה אנליטית לכל המישור המרוכב עם קוטב ב-1. באופן הזה \zeta(s) מוגדרת גם בנקודות בהן הטור \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} אינו מתכנס. פונקציה זו קרויה פונקציית זטא של רימן.

ההמשכה האנליטית מקיימת את זהות הסימטריה \ \Lambda(s) = \Lambda(1-s) כאשר \ \Lambda(s) = \Gamma(s/2)\pi^{-s/2}\zeta(s) ו-\Gamma היא פונקציית גמא. מכיוון ש-\ \zeta(2m)=(-1)^{m+1}\frac{1}{2}\frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!}B_{2m} (ע"ע מספרי ברנולי), נובע מזהות הסימטריה שלכל n אי-זוגי מתקיים \zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1} כאשר B_{k} הוא מספר ברנולי ה-k. בפרט, B_2 = -\frac{1}{6}. אם נציב n=1 נקבל \zeta(-1)=-\frac{B_{2}}{2}=-\frac{1}{12}.

על כן, אם נזהה פורמלית את הטור \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} עם פונקציית זטא של רימן, גם בנקודות בהן הטור אינו מתכנס, נקבל:

1+2+3+\ldots = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{-1}}=\zeta(-1)=-\frac{1}{12}

חישוב בעזרת סיכום רמנוג'אן[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ שיטת סיכום שהמציא סריניוואסה רמנוג'אן. ראו Ramanujan summation בוויקיפדיה האנגלית.
  2. ^ Lepowsky, J. (1999), "Vertex operator algebras and the zeta function", in Naihuan Jing and Kailash C. Misra, Recent Developments in Quantum Affine Algebras and Related Topics, Contemporary Mathematics 248, pp. 327–340 (באנגלית)
  3. ^ למשל, משפט האן-בנך מבטיח שאפשר להרחיב את פונקציונל הסכום אל מרחב הסדרות שסדרת הסכומים החלקיים שלהם חסומה.
  4. ^ הטור ההנדסי \ 1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots = \frac{1}{1+x} מתכנס במידה שווה בכל תת-קטע [-1+\delta,1-\delta], ולכן אפשר לגזור אותו רכיב רכיב ולקבל את השוויון \ 1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-\cdots = \frac{1}{(1+x)^2}.