לוקליזציה (תורת החוגים)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החוגים, לוקליזציה (לעתים רחוקות מכונה בעברית מיקום) היא שיטה להוספת איברים הפיכים לחוג. בהינתן חוג R ותת קבוצה של איברי החוג, S, רוצים לבנות חוג חדש *R והעתקת חוגים מ-R ל-*R כך שכל אחד מאיברי S יעבור תחת תמונת העתקה זו לאיבר הפיך ב-*R. יתר על כן, דורשים כי *R יהיה החוג ה"כללי ביותר" המקיים תכונה זאת. בשפה של תורת הקטגוריות אומרים ש-*R הוא פתרון לבעיה אוניברסלית מתאימה. לוקליזציה כזו נהוג לסמן על ידי , או אם , כאשר הוא אידאל ראשוני, על ידי .

בנייה עבור חוגים קומוטטיביים[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי חוג קומוטטיבי, ותהי תת-קבוצה ללא האפס וסגורה כפלית, כלומר, אם אז , וכמו כן נניח כי . על הקבוצה נחשוב כעל קבוצת שברים . נגדיר יחס שקילות על קבוצה זו, על ידי אם קיים כך ש . אם R תחום שלמות דרישה זו שקולה ל- , בדיוק כמו בשוויון של שברים רגילים. איבר האפס בחוג יהיה ואיבר היחידה יהיה . (חוגים בלי יחידה, ניתן להגדיר את היחידה והאפס למשל כך - , עם ).

על קבוצת המנה נגדיר פעולות חיבור וכפל על ידי:

.

על ידי חישוב ניתן לוודא שבדרך זו, קבוצת המנה, המסומנת ב מקבלת מבנה של חוג, הנקרא הלוקליזציה של .

ההעתקה הנתונה על ידי היא הומומורפיזם של חוגים, השולח כל איבר ב-S לאיבר הפיך.

כלליות ומינימליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחת התכונות המעניינות של החוג שהוגדר היא שהוא החוג ה'מינימלי' בעל תכונת ההפיכות. כלומר, אם קיים חוג אחר עם מונומורפיזם וכך שתמונות איברי הפיכים ב , אז בהכרח קיים מונומורפיזם . כך ש- , כאשר הוגדרה לעיל.

הוכחה: נגדיר ישירות את על פי הכלל: . קל לבדוק כי הוא מוגדר היטב, מהווה מונומורפיזם חוגים, והדיאגרמה אכן קומוטטיבית - .

פירוש הטענה הוא שאם כבר הגענו ל"הרחבה" של החוג בה איברי S הפיכים, אז בהכרח עברנו בדרך בחוג השברים . יחס זה מאפשר ליצור דיאגרמה קומוטטיבית בין החוגים , ולמעשה אומר שבנינו הוא אובייקט אוניברסלי, ולכן גם יחיד עד כדי איזומורפיזם.

מבנה כחוג[עריכת קוד מקור | עריכה]

הלוקליזציה מקבלת בירושה תכונות של חוג הבסיס.

ראשית, אם אידאל, גם אידאל. בכיוון ההפוך, אם אידאל, אז עבור . כלומר, יש התאמה בין אידאלים של החוג לאידאלים של הלוקליזציה. למעשה, ההתאמה חזקה יותר - נשים לב שאם אידאל ו-, אז (כי יש בו איבר הפיך).

אם חוג נותרי או ארטיני, כך גם .

ישנה גם התאמה מלאה בין הספקטרום של חוג לזה של הלוקליזציה שלו - מתקיים אם ורק אם . אם נשכח מכל האידאלים שחותכים את , נקבל שיש התאמה חד חד ערכית .

התוצאה החשובה ביותר היא שהחוג הוא חוג מקומי - חוג בו יש אידאל מקסימלי יחיד. במקרה הזה, קבוצת כל האיברים הלא הפיכים מהווה אידאל מקסימלי יחיד. לכן גם סכום של אי-הפיכים הוא לא הפיך.

במקרה שבו עם אידאל ראשוני , מתקבל החוג . האידאל המקסימלי הוא .

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • יהי R תחום שלמות, ותהי . במקרה זה הוא שדה השברים של R.
  • אם R תחום שלמות עם יחידה, אז שדה השברים של (חוג הפולינומים) מכיל עותק של , ושווה לשדה השברים של .
  • אם ו- כאשר ראשוני, נקבל כי , והאידאל המקסימלי שלו הוא .
  • אם חוג שלם מעל (כלומר, כל איבר של הוא שורש של פולינום מתוקן עם מקדמים מ-) אז שלם מעל לכל כנ"ל.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]