הרכבת פונקציות

$\ (g\circ f)(x)$, הרכבה של $\ g$ על $\ f$

במתמטיקה, ההרכבה של פונקציות היא פונקציה המתקבלת מהפעלת פונקציות בזו אחר זו.

ובאופן פורמלי: אם $\ f$ פונקציה מ-$\ X$ ל-$\ Y$ ו-$\ g$ פונקציה מ-$\ Y$ ל-$\ Z$, אז ההרכבה $\ g\circ f$ (בסדר זה) היא הפונקציה מ-$\ X$ ל-$\ Z$ המוגדרת לפי $\ (g\circ f)(x)=g(f(x))$. ההרכבה מוגדרת בתנאי שהתמונה של הפונקציה הראשונה ($\ f$) מוכל או שווה לתחום של הפונקציה השנייה ($\ g$).

תכונות

התכונה החשובה ביותר של הרכבת פונקציות היא האסוציאטיביות של הפעולה: אם אפשר להרכיב את $\ h$ על $\ g$ ואת $\ g$ על $\ f$, אז $\ h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$. בזכות תכונה זו, והעובדה שלמערכות של פונקציות יש תפקיד מרכזי כל-כך במתמטיקה, מרבית הפעולות במבנים אלגבריים, ובראשם החבורות, הם אסוציאטיביים. לדוגמה, אוסף כל הפונקציות מקבוצה X לעצמה הוא מונויד. פונקציה שהיא חד-חד-ערכית ועל היא הפיכה: קיימת $\ g$ כך שההרכבות $\ f\circ g$ ו- $\ g\circ f$ הן פונקציית הזהות על $\ X$.

הרכבה של פונקציות ממשיות

הרוב המכריע של הפונקציות המופיעות בחישובים מדעיים מתקבלות כהרכבות של פונקציות יסודיות; הרכבות כאלה נקראות פונקציות אלמנטריות. למשל, הפונקציה $\ f(x)=e^{\sin(x^{2})}$ היא ההרכבה $\ f=\exp \circ \sin \circ s$ כאשר $\ s(x)=x^{2}$ ו- $\ \exp(x)=e^{x}$.

גבול של הרכבת פונקציות ממשיות: אם $f\,$ו-$g\,$ פונקציות שעבורן $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=y_{0}$ וכן גם $\lim _{y\rightarrow y_{0}}g(y)=L$ (עבור $x_{0},y_{0},L$ כלשהם), אז הגבול של הרכבת הפונקציות $g\circ f$ קיים ושווה ל-$\lim _{x\rightarrow x_{0}}(g\circ f)(x)=g\left(\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)\right)=L$ אם מתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים: g רציפה ב-$y_{0}$ (כלומר $L=g(y_{0})$) או שקיימת סביבה מנוקבת של $x_{0}$ שבה $f(x)\neq y_{0}$. שני תנאים אלו מספיקים אך לא הכרחיים.

כלל השרשרת קובע את הנגזרת של הרכבת פונקציות, באופן התלוי בנגזרות של המרכיבים.