מישור (גאומטריה) – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה

→ העריכה הקודמת העריכה הבאה ←

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

חזותיקוד ויקי

בשורה

גרסה מ־21:37, 9 בפברואר 2011

בגאומטריה, מישור הוא מושג יסודי, המשקף את העצם הדו-ממדי הבסיסי. ניתן לדמיין מישור כפיסת נייר אינסופית לכל הכיוונים.

חלק גדול מן הגאומטריה, הטריגונומטריה ותורת הגרפים הוא דו-ממדי, כלומר, עוסק במישור.

המישור הוא מושג יסודי בגאומטריה האוקלידית וגם בגאומטריות אחרות. בהמשך מדובר במישור במסגרת הגאומטריה האוקלידית.

בהינתן מישור, ניתן להשליך עליו מערכת צירים קרטזית כדי להיות מסוגלים לציין כל נקודה במישור בעזרת שני ערכים - הקוארדינטות של הנקודה. ניתן לעשות דבר דומה עם מערכת צירים קוטבית, שבה כל נקודה מזוהה על ידי שני ערכים - זווית ומרחק מהמרכז.

הצגות

הצגה ע"י משוואה

במערכת צירים תלת ממדית $\ z$ - $\ y$ - $\ x$ , אפשר להגדיר מישור כמקום הגאומטרי של כל פתרונות המשוואה $\ ax+by+cz+d=0$ , כאשר $\ a$ , $\ b$ , $\ c$ ו- $\ d$ הם מספרים ממשיים ולא כל המקדמים שווים לאפס. אפשר לכתוב גם $\ \mathbf {a} \cdot \mathbf {x} +d=0$ , כאשר $\ \mathbf {a}$ הוא הוקטור $\ (a,b,c)$ (שלמעשה מהווה הנורמל של המישור) ו- $\ \mathbf {x}$ הוא הוקטור $\ (x,y,z)$ .

הצגה פרמטרית

אפשר לתאר מישור גם באופן פרמטרי (הגדרה כזאת טובה לכל מרחב n ממדי) כקבוצת כל הנקודות מהמשוואה $\ \mathbf {x} =\mathbf {u} +t\mathbf {v} +s\mathbf {w}$ כש- $\ t$ ו- $\ s$ הם סקלרים היכולים לקבל את כל ערכי הממשיים, $\ \mathbf {u}$ הוא וקטור הקובע נקודה על המישור, ו- $\ \mathbf {v}$ ו- $\ \mathbf {w}$ הם וקטורים הפורשים את המישור (בתנאי שאין סקלר $\ r$ המקיים $\ r\mathbf {w} =\mathbf {v}$ , כי אחרת המשוואה תתאר ישר ולא מישור).

הצגות אלה מאפשרות לחשב בקלות תכונות של המישורים המתוארים, בדומה למצב בישרים. לדוגמה, המרחק של נקודה $\ (x_{0},y_{0},z_{0})$ מן המישור $\ ax+by+cz+d=0$ הוא $\ {\frac {ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ .

דרכי הגדרה

ניתן להגדיר מישור מסוים על ידי הצירופים הבאים:

שלוש נקודות שאינן על ישר אחד
ישר ונקודה שאינה עליו
נקודה וישר שהוא הנורמל למישור
שני ישרים הנחתכים בנקודה או המקבילים זה לזה

במרחב תלת ממדי, שני מישורים יכולים להיות מקבילים זה לזה או לחתוך זה את זה בישר. הזווית בין שני המישורים נקראת זווית דו-מישור. ישר שאינו מקביל למישור נתון חותך את המישור הזה בנקודה אחת. תבנית:נ

@@ שורה 10: / שורה 10: @@
 ===הצגה ע"י משוואה===
-במערכת צירים תלת ממדית ''x''-''y''-''z'', אפשר להגדיר מישור כמקום הגאומטרי של כל פתרונות המשוואה <math>\ ax+by+cz+d=0</math>, כאשר <math>\ a</math>, <math>\ b</math>, <math>\ c</math> ו-<math>\ d</math> הם [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]] ולא כל המקדמים שווים לאפס. אפשר לכתוב גם <math>\ \mathbf{a}\cdot\mathbf{x} +d = 0</math>, כאשר <math>\ \mathbf{a} </math> הוא הוקטור  <math>\ (a,b,c)</math> (שלמעשה מהווה ה[[נורמל]] של המישור) ו-<math>\ \mathbf{x} </math> הוא הוקטור  <math>\ (x,y,z)</math>.
+במערכת צירים תלת ממדית <math>\ z</math>-<math>\ y</math>-<math>\ x</math>, אפשר להגדיר מישור כמקום הגאומטרי של כל פתרונות המשוואה <math>\ ax+by+cz+d=0</math>, כאשר <math>\ a</math>, <math>\ b</math>, <math>\ c</math> ו-<math>\ d</math> הם [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]] ולא כל המקדמים שווים לאפס. אפשר לכתוב גם <math>\ \mathbf{a}\cdot\mathbf{x} +d = 0</math>, כאשר <math>\ \mathbf{a} </math> הוא הוקטור  <math>\ (a,b,c)</math> (שלמעשה מהווה ה[[נורמל]] של המישור) ו-<math>\ \mathbf{x} </math> הוא הוקטור  <math>\ (x,y,z)</math>.
 ===הצגה פרמטרית===