פונקציית רימן

פונקציית רימן (על שמו של המתמטיקאי הגרמני ברנרד רימן) (או פונקציית הסרגל) היא פונקציה ממשית מוגדרת כדלהלן:

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{q}}&{\mbox{if }}x={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} ,\quad p,q\ \ {\mbox{relatively prime integers}},q>0\\0&{\mbox{if }}x\notin \mathbb {Q} \end{matrix}}\right.$

(ב-$\,x=0$ ערך הפונקציה הוא 1, כמו בכל מספר שלם).

פונקציה זו מוגדרת על כל הישר הממשי, והיא מתאפיינת בתכונות מעניינות:

• פונקציה זו רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית על הישר, ומכאן ברור שאין קטע שהיא רציפה בו.
• אין קטע שהיא מונוטונית בו.
• קבוצת נקודות אי-הרציפות של הפונקציה צפופה על הישר, אך בעלת מידה אפס.
• בכל קטע סופי הפונקציה אינטגרבילית רימן (האינטגרל הוא כמובן אפס).

הערה על שם הפונקציה

בספרו של מייזלר "חשבון אינפיניטסימלי" הפונקציה מופיעה כ"פונקציית רימן". שמות נוספים בהם מוכרת הפונקציה:

• פונקציית הסרגל
• פונקציית הפופקורן
• פונקציית תומה (Thomae's function)

הוכחה

נוכיח כי הפונקציה רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית על הישר.

יהי $x_{0}={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q}$, כאשר $\,p,q$ שלמים זרים ו-$\,q>0$. מכאן ש-$f(x_{0})={\frac {1}{q}}$. נראה כי $\,f$ אינה רציפה ב-$\,x_{0}$. קבוצת המספרים האי-רציונלים צפופה בישר הממשי, לכן יש סדרה $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ של מספרים אי רציונלים המקיימת $x_{n}\to x_{0}$. לכל $\,n$ מתקיים $\,f(x_{n})=0$, ומכאן $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=0\neq f(x_{0})={\frac {1}{q}}$, ולכן לפי הגדרת הרציפות לפי היינה, הפונקציה אינה רציפה ב-$\,x_{0}$.

כעת נניח ש-$\,x_{0}$ מספר אי-רציונלי; נראה שהפונקציה רציפה ב- $\,x_{0}$. נשתמש בהגדרת הרציפות לפי קושי. יהי $\varepsilon >0$. יש למצוא $\,\delta >0$ כך שאם $x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )$ אזי $|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$. קיים $\,N$ שלם כך ש-$0<{\frac {1}{N}}<\varepsilon$. נסמן $\ M=N!$ (פונקצית העצרת). מכיוון ש-$\,x_{0}$ אינו רציונלי, קיים $\ \delta >0$ כך שהמרחק מ-$\,x_{0}$ לכל שבר מהצורה $\ {\frac {k}{M}}$ עם $\,k$ שלם, גדול מ-$\ \delta$. יהי $\,x\in \mathbb {R}$ המקיים $\,|x-x_{0}|<\delta$. ייתכנו שתי אפשרויות:

1. $\,x\notin \mathbb {Q}$ ואז $\,f(x)=0$, ומכאן $|f(x)-f(x_{0})|=0<\varepsilon$.
2. $\ x=r={\frac {p}{q}}$ הוא שבר מצומצם שמרחקו מ-$\,x_{0}$ קטן מ-$\ \delta$, אז $\,q$ לא יכול לחלק את $\,M$, ולכן $\ q>N$ ו-$\ f(r)={\frac {1}{q}}<{\frac {1}{N}}<\varepsilon$, כלומר, אם $\,|r-x_{0}|<\delta$ אזי $|f(r)-f(x_{0})|<\varepsilon$, כדרוש.

כלומר הראינו כי בכל מקרה, אם $\,|x-x_{0}|<\delta$ אזי $|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$, ומכאן ש-$\,f$ רציפה ב-$\,x_{0}$.

ראו גם

• פונקציית דיריכלה
• פונקציית ויירשטראס