מרחב דואלי

המרחב הדואלי הוא מבנה טבעי המוגדר על מרחב וקטורי V מעל שדה F. זהו מרחב הכולל את כל ההעתקות הלינאריות מ-V לשדה F. העתקה מסוג זה מכונה פונקציונל לינארי. למבנה זה יש חשיבות רבה באלגברה לינארית ובפרט באנליזה פונקציונלית וגאומטריה דיפרנציאלית.

הגדרת המרחב הדואלי

מעל מרחב וקטורי

יהי $\ V$ מרחב וקטורי מעל השדה $\ F$.

המרחב הדואלי של $\ V$ שיסומן ב-$\ V^{*}$ הוא המרחב הווקטורי שאיבריו הם הפונקציות הלינאריות $\ V\to F$. איבר ב-$\ V^{*}$ נקרא פונקציונאל לינארי. החיבור והכפל בסקלר מוגדרים בצורה הטריויאלית. כיוון שגם מרחב זה הוא מרחב וקטורי, גם לו יש מרחב דואלי; בין מרחב זה, המסומן ב-$\ V^{**}$ למרחב המקורי יש איזומורפיזם טבעי (כלומר, שאינו תלוי בסיס) שנקרא איזומורפיזם ההצבה.

מעל מרחב בנך

יהי $\ X$ מרחב בנך מעל שדה סקלרי $\ F$. אזי פונקציונל $\ \Phi :X(F)\to F$ הוא פונקציה המתאימה לכל איבר במרחב מספר כלשהו מהשדה $\ F$.

נהוג לסמן את קבוצת כל הפונקציונלים הלינאריים מעל $\ X$ בסימון $\ X^{\#}$. זהו מרחב לינארי. בדרך כלל עוסקים רק בפונקציונלים לינאריים ולכן בהרבה טקסטים בנושא המונח "פונקציונל" כולל את דרישת הלינאריות.

מגדירים נורמה של פונקציונל כפי שמגדירים נורמה על כל אופרטור במרחב נורמי, באופן הבא:

$\ \|\Phi \|=\sup _{x\neq 0}{\frac {|\Phi (x)|}{\|x\|}}=\sup _{\|x\|\leq 1}{|\Phi (x)|}$

אזי תמיד מתקיים ש $\ |\Phi (x)|\leq \|\Phi \|\cdot \|x\|$.

פונקציונל שהנורמה שלו סופית ( $\ \|\Phi \|<\infty$) נקרא "פונקציונל חסום" ואז הוא גם בפרט פונקציונל רציף לפי תנאי ליפשיץ.

את קבוצת כל הפונקציונלים הלינאריים והחסומים על $\ X$ מסמנים ב-$\ X^{*}$. זהו מרחב בנך - הוא לינארי, הוא נורמי, והוא שלם. למרחב $\ X^{*}$ קוראים "המרחב הדואלי" של $\ X$.

למרחב הדואלי יש חשיבות רבה באנליזה פונקציונלית.

הבסיס הדואלי

נניח כי $\ V$ מממד סופי ויהי $\ \left\{v_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ בסיס עבורו.

נסמן ב-$\ v_{i}^{*}$ את הפונקציונאל הלינארי המקבל 1 על $\ v_{i}$ ו-0 על שאר אברי הבסיס (כמובן שיש פונקציונאל לינארי יחיד כנ"ל).

הקבוצה $\ \left\{v_{i}^{*}\right\}_{i=1}^{n}$ מהווה בסיס ל-$\ V^{*}$ שיקרא הבסיס הדואלי. בסיס זה מקיים את כלל הדלתא של קרונקר - $\ v_{i}^{*}(v_{j})=\delta _{ij}$ - ואומרים שהוא בי-אורתוגונלי לבסיס הישר.

אם מציגים איבר מ-V ופונקציונאל מ-*V באמצעות בסיסים אלו כוקטורי קואורדינטות, אז הפעלת הפונקציונאל על האיבר היא מכפלה סקלרית.

ההעתקה הדואלית

תהי $\ T:V\to W$ העתקה לינארית. ההעתקה $\ T^{*}:W^{*}\to V^{*}$ המוגדרת על ידי $\ T^{*}(w^{*})(v)=w^{*}(T(v))$ תקרא ההעתקה הדואלית של $\ T$.

אם $\ A$ היא המטריצה המייצגת של $\ T$ ביחס לבסיסים כלשהם של $\ V$ ו-$\ W$ אז המטריצה $\ A^{*}$ תייצג את $\ T^{*}$ בבסיסים הדואליים המתאימים.

ראו גם

• אופרטור צמוד