פונקציית התפלגות

בתורת ההסתברות, פונקציית הצטברות (Cumulative distribution function, בראשי תיבות CDF) של משתנה מקרי היא פונקציה של משתנה מקרי X, שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה $\ X\leq a$, לכל a ממשי. פונקציה זו מהווה הכללה של פונקציית הסתברות שעוסקת במשתנה מקרי בדיד, גם למשתנה מקרי רציף.

תכונות מופשטות והקשר למשתנים מקריים

אם X משתנה מקרי, הפונקציה $\ F_{X}(a)=\operatorname {Pr} (X\leq a)$ מקיימת בהכרח ארבע תכונות:

1. הגבול $\ \lim _{a\rightarrow -\infty }F_{X}(a)$ שווה ל-0.
2. הגבול $\ \lim _{a\rightarrow \infty }F_{X}(a)$ שווה ל-1.
3. הפונקציה מונוטונית עולה (במובן החלש), כלומר $\ F_{X}(a)\leq F_{X}(b)$ לכל $\ a\leq b$.
4. הפונקציה רציפה מימין.

ולהיפך: אם F היא פונקציה המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת לאלגברת בורל על הממשיים. עם זאת, מכיוון שהקטעים יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות $\ a<X<b$. ואכן, אם דורשים ש- $\ \operatorname {Pr} (X\leq a)=F(a)$, נובע שהגבול משמאל $\ \lim _{x\rightarrow b^{-}}F(b)$ שווה להסתברות $\ \operatorname {Pr} (X<b)$. מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה $\ a<X<b$, $\ a<X\leq b$, $\ a\leq X<b$ ו- $\ a<X<b$.

בפרט נובע ש-$\ P(X=b)=F_{X}(b)-\lim _{x\rightarrow b^{-}}F_{X}(x)$, כך שהסיכוי למאורעות $\ X=b$ הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה. אם הפונקציה גזירה, אפשר לתאר אותה כאינטגרל של פונקציית צפיפות f:

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt.$