פונקציית גמא – הבדלי גרסאות
מ בוט מוסיף: no:Gammafunksjonen |
←תכונות: תיקון טעות |
||
שורה 44: | שורה 44: | ||
</div> |
</div> |
||
[[תמונה:Gamma_abs.png|ממוזער|ימין|240px|גרף של פונקציית גמא במישור המרוכב. <br /> באיור זה ניתן לראות בבירור את הקטבים של הפונקציה]] |
[[תמונה:Gamma_abs.png|ממוזער|ימין|240px|גרף של הערך המוחלט של פונקציית גמא במישור המרוכב. <br /> באיור זה ניתן לראות בבירור את הקטבים של הפונקציה]] |
||
לפונקציית גמא יש [[קוטב (אנליזה מרוכבת)|קוטב]] ב <math>\,z=-n</math> לכל <math>\,n</math> טבעי. בנקודה זאת נתון גם ש: |
לפונקציית גמא יש [[קוטב (אנליזה מרוכבת)|קוטב]] ב <math>\,z=-n</math> לכל <math>\,n</math> טבעי. בנקודה זאת נתון גם ש: |
גרסה מ־00:37, 5 באפריל 2009
פונקציית גמא היא פונקציה מרוכבת מֶרוֹמורפית, המרחיבה את מושג ה"עצרת" לכל המישור המרוכב: לכל מספר טבעי , הפונקציה מקבלת את הערך .
הפונקציה הוגדרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר באמצע המאה ה-18, אך הסימון של הפונקציה באות נכנס לשימוש בעקבות עבודתו של לז'נדר. גאוס הציע גרסה מעט שונה של פונקציית גמא, , לה הוא קרא "פונקציית פאי", אלא שהסימון של לז'נדר הועדף בצרפת, ובעקבות זאת גם בשאר העולם.
הפונקציה מוגדרת במחצית הימנית של המישור המרוכב באמצעות האינטגרל .
לפונקציית גמא קטבים (פשוטים) בנקודות בלבד, ואין לה שורשים. הפונקצייה מקיימת את המשוואה הפונקציונלית , המסבירה את הקשר לפונקציית העצרת, ועוד זהויות פונקציונליות רבות אחרות.
הגדרה
פונקציית גמא מוגדרת על ידי האינטגרל הבא:
וזאת לכל המקיים . פונקציה זו מתלכדת עם הפונקציה המוגדרת באמצעות הגבול , המוגדר היטב לכל . משום כך, הפונקציה השניה מהווה המשכה אנליטית של האינטגרל לפונקציה מרומורפית.
תכונות
הקשר לפונקציית עצרת
ניתן להראות שעבור מספרים טבעיים, פונקציית גמא שווה לפונקציית העצרת.
אם הוא חיובי ושלם, אזי , כי על ידי ביצוע אינטגרציה בחלקים, אפשר להראות כי , ומאחר ש- נקבל כי לכל מספר טבעי .
זהויות אחרות
זהות חשובה אחת לפונקציית גמא היא נוסחת השיקוף: .
מכאן נובע כי , ולכן .
זהות חשובה אחרת היא נוסחת הכפל של גאוס:
לפונקציית גמא יש קוטב ב לכל טבעי. בנקודה זאת נתון גם ש:
המכפלה האינסופית הבאה, כפי שהראה ויירשטראס, נכונה לכל מרוכב, אשר אינו שלם אי-חיובי:
כאשר הוא "קבוע אוילר".
משפט בוהר-מולרופ
משפט בוהר-מולרופ (Bohr–Mollerup theorem) הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא. המשפט קרוי של-שמם של המתמטיקאים הדנים הארלד בוהר ויוהן מולרופ שהוכיחו אותו.
- משפט: פונקציית גמא הממשית המוגדרת לכל על ידי היא הפונקציה היחידה בקרן המקיימת:
אחת ההוכחות לנוסחת סטירלינג משתמשת במשפט זה. במסגרת ההוכחה בונים פונקציה המקיימת את שלושת התנאים במשפט בוהר-מולרפ, ולכן פונקציה זו היא בהכרח פונקציית גמא.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- פונקציית גמא באתר Wolfram mathworld
- מחשבון לפונקציית גמא