פולינום אי פריק

באלגברה, פולינום אי-פריק הוא פולינום, בדרך-כלל מעל שדה, שלא ניתן לכתוב אותו כמכפלה של שני פולינומים שאינם מדרגה 0 (פולינום פריק הוא פולינום שניתן להציגו באופן כזה). לפולינומים אי-פריקים יש תפקיד מרכזי בתורת גלואה, וגם בבניה של שדות סופיים.

הפריקות תלויה לא רק במקדמי הפולינום, אלא גם בשדה שבו מדובר - ייתכן שפולינום יהיה אי-פריק מעל שדה מסוים, ויתפרק מעל שדה הרחבה שלו.

פולינומים אי-פריקים הם האיברים הראשוניים של חוג הפולינומים מעל השדה, שהוא חוג אוקלידי; בדיוק כפי שהראשוניים המוכרים הם האיברים הראשוניים של חוג המספרים השלמים. בשני המקרים, אפשר לפרק כל איבר של החוג למכפלה של איברים ראשוניים, באופן שהוא, מבחינה עקרונית, יחיד. האנלוגיה בין פולינומים (בעיקר מעל שדות סופיים) ובין מספרים שלמים מרחיקה לכת עד ליצירה של "תורת מספרים" של פולינומים, שבה משחקים הפולינומים האי-פריקים תפקיד מרכזי.

שיטות לזיהוי אי פריקות

פולינום ממעלה שנייה או שלישית הוא פריק אם ורק אם יש לו שורשים, כלומר אם קיים איבר בשדה שמאפס אותו.

קריטריון איזנשטיין הוא קריטריון עבור אי פריקות של פולינום בעל מקדמים שלמים (ובעזרת שימוש במכנה משותף אפשר להשתמש בו גם עבור מקדמים רציונליים). הוא מנוסח כך:

יהא $\ a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}$ פולינום במקדמים שלמים. אם קיים מספר ראשוני $\ p$ כך ש- $\ \forall i<n:p|a_{i}$ ( $\ p$ מחלק את כל המקדמים פרט לזה של החזקה הגבוהה ביותר) וכמו כן מתקיים $\ p\not {|}a_{n},p^{2}\not {|}a_{0}$ (כלומר, $\ p$ לא מחלק את המקדם של החזקה הגבוהה ביותר, וריבועו לא מחלק את המקדם החופשי) אז הפולינום הוא אי פריק מעל המספרים השלמים.

מן הלמה של גאוס נובע שאם פולינום מוגדר מעל תחום פריקות יחידה והוא פרימיטיבי ואי-פריק שם, אז הוא אי-פריק גם מעל שדה השברים של התחום.

דוגמה

נביט בשלושת הפולינומים הבאים:

1. $\ p_{1}(x)=x^{2}-4=(x-2)(x+2)$.
2. $\ p_{2}(x)=x^{2}-2=(x-{\sqrt {(}}2))(x+{\sqrt {(}}2))$.
3. $\ p_{3}(x)=x^{2}+1=(x-i)(x+i)$.

מעל שדה המספרים הרציונליים $\mathbb {Q}$ רק הפולינום הראשון הוא פריק. שני האחרים אי-פריקים שכן שורש שתיים והמספר המדומה i אינם שייכים לשדה.

מעל שדה המספרים הממשיים $\mathbb {R}$ הפולינומים הראשון והשני פריקים, והשלישי לא.

מעל שדה המספרים המרוכבים $\mathbb {C}$ שלושת הפולינומים פריקים. דבר זה אינו מקרי: המשפט היסודי של האלגברה מראה כי כל פולינום ממעלה גדולה מ-1 הוא פריק מעל שדה המרוכבים.