בתורת החבורות , משפט ז'ורדן -הלדר קובע שכל סדרות ההרכב של חבורה סופית הן שקולות. כלומר גורמי ההרכב של כל זוג סדרות הרכב הם זהים עד כדי סדר ואיזומורפיזם .
המשפט מהווה הכללה מרחיקת-לכת של המשפט היסודי של האריתמטיקה , שהוא מקרה פרטי שלו עבור החבורות החיבוריות
Z
n
{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}
משפט ז'ורדן הולדר נובע בקלות ממשפט העידון של שרייר שקובע: לכל שתי סדרות נורמליות בחבורה קיימים עידונים שקולים. כאשר עידון של סדרה נורמלית הוא תהליך בו מוסיפים תתי-חבורות נורמליות מתאימות לסדרה.
להלן סקירה של שלבי ההוכחה.
תהי
G
{\displaystyle G}
A
⊲
A
∗
≤
G
{\displaystyle A\vartriangleleft A^{*}\leq G}
B
⊲
B
∗
≤
G
{\displaystyle B\vartriangleleft B^{*}\leq G}
≤
{\displaystyle \leq }
⊲
{\displaystyle \vartriangleleft }
תת-חבורה נורמלית ). אזי מתקיימים היחסים הבאים:
A
(
A
∗
∩
B
)
⊲
A
(
A
∗
∩
B
∗
)
{\displaystyle A\left(A^{*}\cap B\right)\vartriangleleft A\left(A^{*}\cap B^{*}\right)}
B
(
A
∩
B
∗
)
⊲
B
(
A
∗
∩
B
∗
)
{\displaystyle B\left(A\cap B^{*}\right)\vartriangleleft B\left(A^{*}\cap B^{*}\right)}
וכן מתקיים האיזומורפיזם הבא לגבי חבורות המנה:
A
(
A
∗
∩
B
∗
)
/
A
(
A
∗
∩
B
)
≅
B
(
A
∗
∩
B
∗
)
/
B
(
A
∩
B
∗
)
{\displaystyle A\left(A^{*}\cap B^{*}\right)/A\left(A^{*}\cap B\right)\cong B\left(A^{*}\cap B^{*}\right)/B\left(A\cap B^{*}\right)}
הוכחה
עיקר ההוכחה הוא האיזומורפיזם בין חבורות המנה. אותו ניתן להסיק ממשפט האיזומורפיזם השני . תחילה שמים לב כי:
A
(
A
∗
∩
B
∗
)
/
A
(
A
∗
∩
B
)
≅
(
A
∗
∩
B
∗
)
/
(
(
A
(
A
∗
∩
B
)
)
∩
(
A
∗
∩
B
∗
)
)
=
(
A
∗
∩
B
∗
)
/
(
(
A
∩
B
∗
)
(
A
∗
∩
B
)
)
,
{\displaystyle A\left(A^{*}\cap B^{*}\right)/A\left(A^{*}\cap B\right)\cong \left(A^{*}\cap B^{*}\right)/\left(\left(A\left(A^{*}\cap B\right)\right)\cap \left(A^{*}\cap B^{*}\right)\right)=\left(A^{*}\cap B^{*}\right)/\left(\left(A\cap B^{*}\right)\left(A^{*}\cap B\right)\right),}
B
(
A
∗
∩
B
∗
)
/
B
(
A
∩
B
∗
)
≅
(
A
∗
∩
B
∗
)
/
(
(
A
∩
B
∗
)
(
A
∗
∩
B
)
)
.
{\displaystyle B\left(A^{*}\cap B^{*}\right)/B\left(A\cap B^{*}\right)\cong \left(A^{*}\cap B^{*}\right)/\left(\left(A\cap B^{*}\right)\left(A^{*}\cap B\right)\right).}
תהי
G
{\displaystyle G}
{
A
i
}
i
=
0
n
{\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i=0}^{n}}
{
B
j
}
j
=
0
m
{\displaystyle \left\{B_{j}\right\}_{j=0}^{m}}
0
≤
i
≤
n
{\displaystyle 0\leq i\leq n}
0
≤
j
≤
m
{\displaystyle 0\leq j\leq m}
A
i
j
=:
A
i
+
1
(
A
i
∩
B
j
)
{\displaystyle A_{ij}=:A_{i+1}\left(A_{i}\cap B_{j}\right)}
מלמת הפרפר שהזכרנו נובע שלכל
i
{\displaystyle i}
A
i
j
⊳
A
i
,
j
+
1
{\displaystyle A_{ij}\vartriangleright A_{i,j+1}}
A
i
0
=
A
i
{\displaystyle A_{i0}=A_{i}}
A
i
m
=
A
i
+
1
{\displaystyle A_{im}=A_{i+1}}
A
i
+
1
⊳
A
i
{\displaystyle A_{i+1}\vartriangleright A_{i}}
A
i
=
A
i
0
⊳
A
i
1
⊳
.
.
.
⊳
A
i
m
=
A
i
+
1
{\displaystyle A_{i}=A_{i0}\vartriangleright A_{i1}\vartriangleright ...\vartriangleright A_{im}=A_{i+1}}
מכך מתקבל עידון של הסדרה הנורמלית
{
A
i
}
i
=
0
n
{\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i=0}^{n}}
באופן סימטרי לגמרי בונים עידון של הסדרה הנורמלית
{
B
j
}
j
=
0
m
{\displaystyle \left\{B_{j}\right\}_{j=0}^{m}}
תהי
G
{\displaystyle G}
{
H
i
}
i
=
0
n
{\displaystyle \left\{H_{i}\right\}_{i=0}^{n}}
{
K
j
}
j
=
0
m
{\displaystyle \left\{K_{j}\right\}_{j=0}^{m}}
סדרות ההרכב הן בפרט סדרות נורמליות, ולכן ממשפט העידון נובע שקיימים לשתי הסדרות עידונים שקולים, שנסמן
{
H
i
′
}
i
=
0
l
{\displaystyle \left\{H'_{i}\right\}_{i=0}^{l}}
{
K
j
′
}
j
=
0
l
{\displaystyle \left\{K'_{j}\right\}_{j=0}^{l}}
קל לראות שסדרה נורמלית היא סדרת הרכב אם ורק אם אין בה חזרות, וכן כל עידון שלה בהכרח יוסיף חזרות. לכן גורמי ההרכב החדשים שמתווספים בעידונים השקולים הם רק
{
e
}
{\displaystyle \left\{e\right\}}
משפטי יסוד בתורת החבורות
קיום סדרת הרכב עבור חבורות סופיות.
קיום סדרת הרכב עבור חבורות סופיות.
ה
מנרמל של המנרמל של תת-חבורת סילו הוא המנרמל שלה
ה
מנרמל של המנרמל של תת-חבורת סילו הוא המנרמל שלה
מקרא
משפט בתורת החבורות
משפט בתורת החבורות הסופיות
גרירה: ההוכחה למשפט הנגרר מתבססת על המשפטים הגוררים[ 1]
תת-חבורה של חבורה נילפוטנטית היא תת-נורמלית
תת-חבורה של חבורה נילפוטנטית היא תת-נורמלית
A
5
{\displaystyle A_{5}}
ו -
A
6
{\displaystyle A_{6}}
פשוטות .
A
5
{\displaystyle A_{5}}
ו -
A
6
{\displaystyle A_{6}}
פשוטות .
A
n
{\displaystyle A_{n}}
פשוטה עבור
n
>
4
{\displaystyle n>4}
A
n
{\displaystyle A_{n}}
פשוטה עבור
n
>
4
{\displaystyle n>4}
חבורה נילפוטנטית סופית
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
מכפלה סופית של חבורת p
חבורה נילפוטנטית סופית
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
מכפלה סופית של חבורת p
הערה: בתרשים מוצגת דרך אחת לבניות ההוכחות של המשפטים. ישנן דרכים אחרות
^ כמובן אפשריות הוכחות אחרות שמתבססות על טענות שונות.
