מרחב (CAT(k

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, מרחבי (CAT(k הם מרחבים מטריים מטיפוס מיוחד: המשולשים שלהם "דקים" יותר ממשולשי-ההשוואה במרחב סטנדרטי בעל עקמומיות קבועה k. העקמומיות של מרחבי היא לכל היותר k בכל נקודה. את המונח טבע מיכאיל גרומוב ב-1987, כראשי-תיבות של המתמטיקאים אלי קרטן (C), אלכסנדר אלכסנדרוב (A) וויקטור אנדרייביץ' טופונוגוב (T).

ההפרדה האמיתית היא בין המקרים k<0, k=0 ו- k>0, מכיוון שמרחבי אפשר לכייל למרחבי אם לשני הפרמטרים k ו- 'k אותו סימן. מרחבי (CAT(0 שלמים קרויים גם "מרחבי הדמר", על-שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אק הדמר.

הגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחבי המודל[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור מספר ממשי k, מסמנים ב- את המשטח היחיד שהוא פשוט קשר בעל עקמומיות קבועה k. לדוגמה, הוא המישור האוקלידי עם המטריקה הרגילה שלו; הוא ספירת היחידה במרחב האוקלידי התלת-ממדי, ו- הוא המישור ההיפרבולי.

אם k>0, הקוטר של המרחב הוא (אחרת הקוטר אינסופי).

משולשי השוואה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נקבע k ממשי. נניח ש- X הוא מרחב מטרי ו- T משולש שקודקודיו p,q,r; אם k>0, נניח שקוטר המשולש אינו עולה על . אז קיים ב- משולש יחיד, עד כדי איזומטריה, שבו המרחקים בין הקודקודים שווים לאלה של T. משולש זה נקרא משולש ההשוואה של T.

תנאי [עריכת קוד מקור | עריכה]

משולשים טיפוסיים במרחבים בעלי עקמומיות חיובית (למעלה) ,שלילית (באמצע) ואפס (למטה)

נניח ש- הוא מרחב גאודזי, כלומר, מרחב מטרי שבו יש מסילה גאודזית המחברת כל שתי נקודות (מסילה גאודזית היא פונקציה , כאשר הוא קטע על הישר הממשי, והמרחק מקיים לכל ). אומרים שמשולש גאודזי D במרחב X (משולש שצלעותיו הן מסילות גאודזיות המחברות את הקודקודים) מקיים את "תנאי ", אם המרחק בין כל שתי נקודות על הצלעות של D קטן או שווה למרחק בין הנקודות המתאימות על משולש ההשוואה שלו, 'D במרחב .

המרחב X נקרא מרחב , אם כל משולש גאודזי (שקוטרו, אם k>0, אינו עולה על ), מקיים את תנאי . אומרים שמרחב מטרי (אפילו אם אינו גאודזי) הוא "בעל עקמומיות k לכל היותר", אם לכל נקודה שלו יש סביבה קמורה-גאודזית (סביבה הכוללת עם כל שתי נקודות גם קו גאודזי המחבר אותן), המקיימת את תנאי . מרחב בעל עקמומיות 0 לכל היותר הוא "מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית".

התנאי הולך ומתחזק כאשר k מקבל ערכים נמוכים יותר: אם , אז כל מרחב הוא גם מרחב . מאידך התכונה סגורה במובן הבא: מרחב שהוא לכל , הוא גם .

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

המרחב הוא .

המרחב האוקלידי (מכל ממד) הוא . המרחב ההיפרבולי (מכל ממד) הוא . ספירת היחידה (בכל ממד) היא (אבל לא ). ספירה ברדיוס r (ולכן מעקמומיות ) היא . כל מרחב נורמי המקיים איזשהו תנאי הוא מרחב מכפלה פנימית.

אם מנקבים את המישור האוקלידי בנקודה, המרחב הנותר אינו גאודזי, ולכן אינו . מאידך, לכל נקודה יש סביבה קמורה-גאודזית שהיא , ולכן המישור המנוקב הוא מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית.

עץ הוא מרחב לכל k.

כל מרחב , עבור k<0, הוא מרחב . בפרט, מרחבים כאלו הם כוויצים.

תכונות של מרחבי [עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי X מרחב .

תכונות מקומיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • בין כל שתי נקודות (ממרחק שאינו עולה על אם k>0) מחברת מסילה גאודזית יחידה. יתרה מזו, המסילה משתנה באופן רציף עם שינוי נקודות הקצה שלה.
  • כל עקום (שאורכו אינו עולה על אם k>0), שהוא גאודזי-מקומית, הוא עקום גאודזי.
  • כדור פתוח (ברדיוס שאינו עולה על אם k>0) הוא קמור-גאודזית.
  • כדורים (שרדיוסם אינו עולה על אם k>0) הם כוויצים.
  • נקודות שאינן רחוקות משני קצות קטע, קרובות לאמצע הקטע, במובן הבא: לכל a (שאינו עולה על אם k>0) ולכל קיים , כך שאם m היא נקודת האמצע של העקום הגאודזי המחבר את הנקודות x ו-y, אז כל נקודה שמרחקה מ-x ומ-y אינו עולה על , נמצאת במרחק לכל היותר מ-m.

מרחב הכיסוי האוניברסלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • מתכונות אלה נובע שאם , מרחב הכיסוי האוניברסלי של מרחב הוא כוויץ. בפרט, חבורות ההומוטופיה, מן השנייה ואילך, הן טריוויאליות. הספירות מראות שתכונות אלה אינן מתקיימות כאשר k>0. למעשה, מרחב הכיסוי האוניברסלי של כל מרחב בעל עקמומיות שאינה עולה על k (כאשר k שלילי) הוא מרחב .

היפרבוליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל מרחב (עבור ) הוא מרחב היפרבולי. מרחב הוא היפרבולי אם ורק אם אין לו תת-מרחב איזומטרי למישור האוקלידי (עם המטריקה הרגילה).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]