לדלג לתוכן

משפט הנורמליזציה של נתר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, ובמיוחד אלגברה קומוטטיבית, משפט הנורמליזציה של נתר הוא תוצאה טכנית חשובה שהוכיחה אמי נתר.

ניסוח המשפט

[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשפט קובע שכל תחום שלמות שהוא אלגברה נוצרת סופית מעל שדה , הוא הרחבה שלמה של חוג פולינומים. כלומר, קיימים באלגברה איברים בלתי תלויים אלגברית כך שכל איבר מאפס פולינום מתוקן עם מקדמים ב-.

מקרה פרטי של המשפט הוא הניסוח הבא:

יהי שדה אינסופי ו- אלגברה נוצרת סופית מעל . אזי קיימים כאשר כך ש- בלתי-תלויים אלגברית ו- היא מודול נוצר סופית מעל , כלומר: קיימים (עם סופי) כך ש-.

שימושים ומסקנות

[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט הנורמליזציה של נתר נחשב למשפט בסיסי באלגברה קומוטטיבית, ויש לו שימושים רבים להוכחות משפטים בסיסיים בתחום.

  • למת זריצקי - שדה אפיני הוא אלגברי. כלומר, אם אלגברה אפינית ושדה, אז .
מספר מסקנות מלמת זריצקי:
- שדה אפיני מעל שדה סגור אלגברית הוא רק השדה עצמו.
- אם תת-אלגברה כלשהי, ו- אידיאל מקסימלי, אז אידיאל מקסימלי של .
- כל אידיאל מקסימלי של שדה סגור אלגברית הוא מהצורה . משפט זה מהווה התאמה בין נקודות של מרחב אפיני ואידיאלים מקסימליים, ומהווה משפט בסיסי בגאומטריה אלגברית.

משמעות גאומטרית

[עריכת קוד מקור | עריכה]

במונחים גאומטריים, הוא חוג הקואורדינטות של המרחב האפיני , הוא חוג הקואורדינטות של יריעה אלגברית כלשהי (שחייבת להיות מאותו ממד כמו ). מכיוון ש-, הרי שקיים הומומורפיזם הכלה:

,

המורפיזם המושרה על הסכמות האפיניות הוא מורפיזם סופי: .

המסקנה היא שכל יריעה אלגברית היא כיסוי מסועף של מרחב אפיני.

לקריאה נוספת

[עריכת קוד מקור | עריכה]
  • David Mumford (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-63293-X.
  • Klaus Hulek (2003). Elementary Algebraic Geometry. AMS. ISBN 0-8218-2952-1.