משפט הפירוק של ויירשטראס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

*משפט הפירוק לגורמים של ווירשטראס* - במתמטיקה, בתחום האנליזה מרוכבת, משפט הפקטוריזציה של ווירשטראס קובע כי כל פונקציה שלמה ניתן לייצג על ידי מכפלה שמערבת את האפסים של פונקציה זו. בנוסף, לכל סדרה השואפת לאינסוף ניתן לייחס פונקציה שלמה אשר האפסים שלה הם איברי הסדרה.

צורה נוספת של המשפט אשר מורחבת לפונקציות מרופמורפיות מאפשרת להביע פונקציות אלו כמכפלה המערבת את האפסים שלהן, הקטבים שלהן, ועוד פונקציה הולומורפית שונה מ0 הקשורה אליהן.

מוטיבציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ישנן 2 השלכות להמשפט היסודי של האלגברה. הראשונה היא שלכל קב' סופית של מס' במישור המרוכב ניתן לייחס פונ' (פולינום) שאפסייה הם בדיוק מס' אלו. השנייה היא שלכל פול' יש את הפקטוריזציה הבאה: \,p(z)=a\prod_n(z-c_n), כאשר a שונה מ0 וcn הם האפסים של הפולינום.

2 הצורות של המשפט של ווירשטראס ניתן לראות כהרחבה של השלכות אלו לפונקציות שלמות. מכיוון שמכפלה אינסופית של מס' מהמישור המרוכב לא בהכרח מתכנסת, הרחבה של הנ"ל לפונ' שלמות אינה מיידית מתוך המשפט היסודי של האלגברה ודורשת כלים כלשהם. תנאי הכרחי להתכנסות של מכפלה אינסופית של מספרים הוא שערכם המוחלט ישאף ל1. לכן, אם אנו רוצים ש\,prod_n(z-c_n), יתכנס, אנו רוצים פונ' שערכה המוחלט ישאר ליד 1 כאשר היא מקבלת קלטים מליד השורשים שלה. כעת נציג את הכלי הראשון שנשתמש בו במשפט זה- "הגורמים האלמנטריים".

הגורמים האלמנטרים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגורמים האלמנטריים מוגדרים באופן הבא:

E_n(z) = \begin{cases} (1 -z) & \text{if }n=0, \\ (1-z)\exp \left( \frac{z^1}{1}+\frac{z^2}{2}+\cdots+\frac{z^n}{n} \right) & \text{otherwise}. \end{cases}

לכל n טבעי. חשיבותם מודגמת בלמה הבאה:

\vert 1 - E_n(z) \vert \leq \vert z \vert^{n+1}.

עבור z עם ערך מוחלט קטן-שווה ל1. n טבעי.

שתי הצורות של המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

קיומה של פונקציה שלמה עם סדרת אפסים נתונה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי \{a_n\} סדרת מס' מרוכבים שונים מ0 אשר שואפת לאינסוף. אם \{p_n\} היא סדרת מס' טבעיים כך שלכל r>0 מתקיים: :  \sum_{n=1}^\infty \left( r/|a_n|\right)^{1+p_n} < \infty, אז הפונקציה : f(z) = \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}(z/a_n) היא שלמה עם אפסים בדיוק בa_n. אם אחד המס' בסדרה \{a_n\} מופיע m פעמים אז הוא יהיה 0 מסדר m. נשים לב כי סדרת הטבעיים תמיד קיימת (ניתן למשל לקחת פשוט את הסדה {n}) אך אינה יחידה ולכן הפונקציה הנ"ל אינה יחידה. נשים לב גם כי המשפט היסודי של האלגברה הינו מקרה פרטי של משפט זה.

משפט הפירוק של ווירשטראס[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי f פונקציה שלמה עם אפסים \{a_n\} (שונים מ0...) אשר חוזרים על עצמם בסדרה בהתאם לריבוי שלהם. נניח גם שלפונ' יש אפס בz=0 והוא מסדר m>0 כלשהו. אז, יש פונ' שלמה g וסדרה \{P_n\} של טבעיים כך ש:

f(z)=z^m e^{g(z)} \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}\!\!\left(\frac{z}{a_n}\right).[1]

דוגמאות לפירוק לגורמים של פונקציות שלמות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • \sin \pi z = \pi z \prod_{n\neq 0} \left(1-\frac{z}{n}\right)e^{z/n} = \pi z\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)
  • \cos \pi z = \prod_{n\neq 0} \left(1-\frac{2z}{2n-1}\right)e^{2z/(2n-1)} = \prod_{n=1}^\infty \left( 1 - \frac{4z^2}{(2n-1)^2} \right)

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Conway, J. B. (1995), Functions of One Complex Variable I, 2nd ed., springer.com: Springer, תבנית:Citation/identifier