סדרה נורמלית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החבורות, סדרה נורמלית של חבורה \ G היא שרשרת של תת חבורות, שכל אחת היא תת חבורה נורמלית של קודמתה. כלומר: \ G = G_0 \triangleright G_1 \triangleright \cdots \triangleright G_k, כאשר  \triangleright מסמן שמדובר בתת-חבורה נורמלית.

הערה: יש המגדירים סידרה נורמלית של חבורה \ G כשרשרת של תת חבורות, שכל אחת היא תת חבורה נורמלית של \ G ואז שרשרת של תת חבורות, שכל אחת היא תת חבורה נורמלית של קודמתה נקראת סידרה תת-נורמלית.

גורמי הסדרה הם כל חבורות המנה מהצורה \ G_{i}/G_{i+1}.

עידון של סדרה הוא סדרה ארוכה יותר, הכוללת את כל תת-החבורות של הסדרה הקודמת. אפשר לעדן סדרה נתונה אם קיימת חבורה \ L שמקיימת \ G_i\triangleright L\triangleright G_{i+1}, \ G_i\ne L\ne G_{i+1}. במקרה זה הסדרה \ G=G_0\triangleright \cdots \triangleright G_i\triangleright L\triangleright G_{i+1}\triangleright G_k היא עידון של הסדרה המקורית.


סדרת הרכב של חבורה \ G היא סדרה נורמלית שמסתיימת ב-\ \{e\} ולא ניתן לעדן אותה מבלי להוסיף חזרות. ניתן לראות שסדרה נורמלית היא סדרת הרכב אם ורק אם היא נגמרת ב-\ \{e\} וכל הגורמים שלה חבורות פשוטות.

החשיבות הרבה של סדרות ההרכב נעוצה בעובדה שגורמי ההרכב של כל חבורה סופית \ G הם קבועים עד כדי איזומורפיזם והחלפת סדר, ואינם תלויים בסדרת ההרכב (ראו משפט ז'ורדן-הולדר).

חבורה פתירה היא חבורה שיש לה סדרה נורמלית עם גורמים אבליים; לחבורה שאינה פתירה יש תמיד סדרת הרכב עם גורם שהוא חבורה פשוטה לא אבלית.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]