סדרה נורמלית

בתורת החבורות, סדרה נורמלית של חבורה $G$ היא שרשרת של תת-חבורות, שכל אחת היא תת-חבורה נורמלית של קודמתה. כלומר: ${\textstyle G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \cdots \triangleright G_{k}}$, כאשר $\triangleright$ מסמן שמדובר בתת-חבורה נורמלית.

הערה: יש המגדירים סדרה נורמלית של חבורה $G$ כשרשרת של תת-חבורות, שכל אחת היא תת-חבורה נורמלית של $G$, ואז שרשרת של תת-חבורות שכל אחת היא תת-חבורה נורמלית של קודמתה נקראת סדרה תת-נורמלית.

גורמי הסדרה הם כל חבורות המנה מהצורה $G_{i}/G_{i+1}$.

עידון של סדרה הוא סדרה ארוכה יותר, הכוללת את כל תת-החבורות של הסדרה הקודמת. אפשר לעדן סדרה נתונה אם קיימת חבורה $L$ שמקיימת $G_{i}\triangleright L\triangleright G_{i+1}$, כאשר $G_{i}\neq L\neq G_{i+1}$. במקרה זה הסדרה ${\textstyle G=G_{0}\triangleright \cdots \triangleright G_{i}\triangleright L\triangleright G_{i+1}\triangleright \cdots \triangleright G_{k}=1}$ היא עידון של הסדרה המקורית.

סדרת הרכב

סדרת הרכב של חבורה $G$ היא סדרה נורמלית שמסתיימת ב-$\{e\}$ ולא ניתן לעדן אותה מבלי להוסיף חזרות. ניתן לראות שסדרה נורמלית היא סדרת הרכב אם ורק אם היא נגמרת ב-$\{e\}$ וכל הגורמים שלה חבורות פשוטות.

החשיבות הרבה של סדרות ההרכב נעוצה בעובדה שאם לחבורה יש סדרת הרכב, גורמי ההרכב שלה קבועים עד כדי איזומורפיזם ושינוי סדר (ראו משפט ז'ורדן-הלדר).

חבורה פתירה היא חבורה שיש לה סדרה נורמלית עם גורמים אבליים; לחבורה שאינה פתירה יש תמיד סדרת הרכב עם גורם שהוא חבורה פשוטה לא אבלית.

ראו גם

• סדרה מרכזית

קישורים חיצוניים

• סדרה נורמלית, באתר MathWorld (באנגלית)