סדרה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, סדרה היא רשימה סדורה של עצמים, הנקראים איברי הסדרה. בסדרה, כל איבר נקבע בצורה יחידה על פי מיקומו בסדרה, כך שיכולים להיות מספר איברים בעלי ערך זהה. פורמלית, ניתן להגדיר סדרה בתור פונקציה מקבוצת המספרים הטבעיים לקבוצת האיברים שמשמשים כערכי הסדרה. בצורה זו, לכל מספר טבעי מותאם ערך כלשהו (ניתן להתאים את אותו ערך יותר מפעם אחת).

מספר האיברים הכולל בסדרה יכול להיות סופי או אינסופי. סדרה סופית מוגדרת כרשימה סדורה סופית, כלומר פונקציה שתחום ההגדרה שלה הוא קבוצה סופית.

נהוג לסמן סדרה \left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}, וכל איבר בסדרה בתור \!\, a_n כאשר a הוא סימן המציין את הסדרה שהאיבר שייך אליה, ו-n הוא אינדקס, המציין את מספר האיבר בסדרה. למשל, בסדרה של המספרים הטבעיים \left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}=\left\{ 1,2,3... \right\} מתקיים: \!\, a_1=1, a_2=2, a_3=3....

האינדקסים של סדרה הם מספרים טבעיים, אולם ניתן להכליל ולהגדיר סדרות עם אינדקסים סודרים.

סדרה קבועה היא סדרה שכל איבריה זהים. אומרים על סדרה שהיא עולה ממש אם לכל אינדקס n מתקיים \!\, a_n<a_{n+1} ושהיא עולה (או "לא יורדת") אם מתקיים \!\, a_n\le a_{n+1}. באותו אופן אומרים שהסדרה יורדת ממש אם מתקיים \!\, a_n>a_{n+1} ושהיא יורדת (או "לא עולה") אם מתקיים a_n\ge a_{n+1}. בשני המקרים הללו אומרים שהסדרה מונוטונית. לא כל סדרה היא מונוטונית, אבל לכל סדרה קיימת תת סדרה מונוטונית.

כאשר לסדרה יש אינסוף איברים והטווח שלה הוא מרחב טופולוגי (למשל, הישר הממשי) ניתן לדבר על ההתכנסות שלה. אומרים על סדרה שהיא מתכנסת אם ורק אם קיים לה גבול. סדרה שאיבריה שייכים למרחב מטרי (כגון הישר הממשי) היא סדרה חסומה אם קיים מספר ממשי R כך שמרחקם של אברי הסדרה מנקודה x אינו עולה על R. הסדרה היא סדרת קושי אם המרחק בין שני אברים שואף לאפס כאשר שני האינדקסים שואפים לאינסוף.

מושג הקשור באופן טבעי למושג הסדרה הוא מושג הטור.

סדרות כמרחב וקטורי[עריכת קוד מקור | עריכה]

סדרות המוגדרות מעל שדה (כלומר, איבריהן הן איברים בשדה) ניתנות להצגה כוקטורים. כלומר, אוסף הסדרות באורך n (סופי או אינסופי), שאיבריהן איברים בשדה \mathbb{F}, מהוות מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}, כאשר פעולת החיבור מוגדרת (a+b)_n=a_n+b_n ופעולת הכפל בסקלר מוגדרת (c \cdot a)_n=c \cdot (a_n).

למעשה, האיזומורפיה בין אוסף הסדרות הממשיות (כלומר שאיבריהן מספרים ממשיים) שאורכן n לבין \mathbb{R}^n הינה כמעט מיידית.

תת סדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת סדרה היא סדרה המכילה, לפי הסדר, איברים השייכים לסדרה אחרת. בצורה פורמלית, אם \left\{a_n\right\} היא סדרה, וקיימת סדרה עולה ממש \left\{n_k\right\} שאבריה הם קבוצה חלקית לקבוצת הסודרים של הסדרה המקורית, אז \left\{a_{n_k}\right\} היא תת-סדרה של \left\{a_n\right\} לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לכל סדרה ממשית חסומה יש תת-סדרה מתכנסת. מנקודת מבט טופולוגית, אפשר לתרגם זאת לטענה שכל תת-קבוצה סגורה וחסומה בישר הממשי היא קומפקטית סדרתית.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]