סדרת קושי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

באנליזה מתמטית, סדרת קושי היא סדרה שאבריה הולכים ומצטופפים: לכל מרחק חיובי \varepsilon, יש מקום בסדרה שממנו והלאה המרחק בין כל שני אברים קטן מ-\varepsilon. סדרות אלה קרויות על שמו של המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטין לואי קושי.

הגדרה פורמלית: יהי \left(X,d\right) מרחב מטרי, ותהי \ \left\{ a_n \right\}_{n=1}^{\infty} סדרה במרחב זה. אומרים כי זו סדרת קושי אם לכל \ \varepsilon > 0 קיים N מתאים לו, כך שלכל \ n,m > N מתקיים \ d\left(a_n,a_m\right) < \varepsilon.

בכל מרחב מטרי, כל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי. מאידך ישנם מרחבים מטריים בהם יש סדרות קושי שאינן מתכנסות. מרחב מטרי שלם הוא כזה שבו לכל סדרת קושי בו קיים גבול. המספרים הממשיים הם דוגמה למרחב מטרי שלם. דוגמה למרחב מטרי שאינו שלם היא הקטע \left(0,1\right) עם המטריקה הנורשת מהמספרים הממשיים, שכן הסדרה \ \left\{ 1/n \right\}_{n=1}^{\infty} היא סדרת קושי שאין לה גבול.



P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.