עצרת מעריכית

עצרת מעריכית של מספר טבעי n היא תוצאת הפעולה: n בחזקת n-1, בחזקת n-2 וכן הלאה עד ל-1. כלומר:

$n^{{(n-1)}^{{(n-2)\ }^{.\ ^{.\ ^{.\ {^{2^{1}}}}}}}}$

ניתן להגדיר את העצרת המעריכית באופן רקורסיבי:

$a_{1}=1,\quad a_{n}=n^{a_{n-1}}$

יש לשים לב כי קודם מתבצעות פעולות החזקה העליונות ביותר (כמקובל במגדל חזקות).

ארבעת העצרות המעריכיות הראשונות הן 1, 2, 9, 262144. האיבר הרביעי בסדרה מחושב כלהלן:

$262144=4^{3^{2^{1}}}$

העצרות המעריכיות גדלות הרבה יותר מהר מעצרת רגילה. העצרת המעריכית של 5 למשל היא התוצאה של 5²⁶²¹⁴⁴, מספר בעל 183,231 ספרות. באופן כללי מספר הספרות ב-$a_{n}$ הוא מסדר גודל של $a_{n-1}\log n$.

טור ההופכיים של ערכי העצרת המעריכית מתכנס:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}}}=1.6111149258083767361111\ldots$

סכום הטור הוא מספר ליוביל ולכן לפי משפט ליוביל הוא מספר טרנסצנדנטי.