עקומת בודה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
עקומת בודה אסימפטוטית לעומת מתוקנת של מסנן המעביר תדרים נמוכים

עקומת בודה היא דרך להצגת פונקציית תמסורת כנגד התדירות, כאשר התדירות מוצגת בציר האופקי בסקאלה לוגריתמית. פונקציית התמסורת היא לרוב פונקציה מרוכבת ולכן ההצגה היא לרוב באמצעות שתי עקומות: עקומת הגבר ועקומת מופע (או פאזה), שיחד מרכיבות את תגובת התדר של המערכת.

עקום ההגבר הוא גרף של הגבר עוצמת המתח בדציבלים - לוגריתם הערך המוחלט של פונקציית התמסורת מוכפל ב-20, כנגד התדר בסקאלה לוגריתמית. זהו ריבוע היחס בין משרעת מוצא המערכת לבין משרעת הכניסה בזרם חילופין בדציבלים כתלות בתדירות.

עקום המופע הוא הפרש המופע בין המוצא לכניסה כתלות בתדירות (גם כן בסקאלה לוגריתמים), והיא לרוב מופיעה תחת עקום ההגבר באותו קנה מידה.

עקומת בודה משמשת לתיאור תגובת התדר של מסננים ושל מערכות משוב. מאחר שההגבר מוצג בדציבלים, מחוקי לוגריתמים נובע שהן עקום ההגבר והן עקום המופע לינאריים למקוטעין, כאשר השינויים בשיפוע מתרחשים סביב קטבים ואפסים של פונקציית התמסורת. תדרים אלה נקראים תדרי ברך. עקומת בודה אסימפטוטית היא עקומה המשורטטת כלינארית למקוטעין, ועקומה המייצגת את תגובת התדר המדויקת נקראת עקומת בודה מתוקנת.

שרטוט עקומת בודה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן לכתוב את פונקציית התמסורת של רוב המערכות הלינאריות בצורה:

 H(s) = A \prod \frac{(s + x_n)^{a_n}}{(s + y_n)^{b_n}}

כאשר \ s = j \omega הוא המשתנה של התמרת לפלס (\ \omega התדירות הזוויתית), \ x_n ו-\ y_n האפסים והקטבים בהתאמה, \ a_n ו-\ b_n מספרים טבעיים ו-\ A קבוע.

הפעלת לוגריתם על שני אגפי המשוואה נותנת סכום של הקטבים והאפסים:

 \log(H(s)) = \log(A) + \sum a_n \log(s + x_n) - \sum b_n \log(s + y_n)

עקומת ההגבר האסימפטוטית היא כזו שבכל אפס (\omega = x_n) ישנה עלייה בשיפוע של 20 \cdot a_n דציבל לדקאדה, ובכל קוטב (\ \omega = y_n) ישנה ירידה בשיפוע של 20 \cdot b_n דציבל לדקאדה. ההגבהה של הגרף תלויה ב-\ A וניתן לחשב אותה על ידי הצבת התדירות הזוויתית ההתחלתית ב-\ |{H(j \omega)}|.

עקומת ההגבר המתוקנת עוברת 3 \cdot a_n \mathrm{dB} מעל העקומה האסימפטוטית בכל אפס ו-3 \cdot b_n \mathrm{dB} מתחת לעקומה האסימפטוטית בכל קוטב.

עקומת המופע מתחילה מהזווית של A בהצגה קוטבית בהמישור המרוכב. אם A ממשי וחיובי מתחילה העקומה מ-0 ואם הוא שלילי היא מתחילה מ-180 מעלות. עקומת המופע האסימפטוטית היא כזו שבכל אפס יציב (\ \omega = x_n, Re(x_n) >0) ישנה עלייה בשיפוע של 45 \cdot a_n מעלות לדקאדה, ובכל קוטב (\ \omega = y_n, Re(y_n)>0) ישנה ירידה בשיפוע של 45 \cdot b_n מעלות לדקאדה. עבור קטבים ואפסים בלתי יציבים, השינוי הוא הפוך. השינוי בשיפוע מתחיל דקאדה אחת לפני הקוטב או האפס ומסתיים דקאדה אחת אחריו, כך שכל שינוי הוא של 90 מעלות.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]