פונקציית החלוקה (תורת המספרים)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
דיאגרמות יאנג של החלוקות השונות של המספרים 1 עד 8. כל הדיאגרמות באותו הצבע הן כל החלוקות האפשריות של מספר.

בקומבינטוריקה ובתורת המספרים, חלוקה של מספר טבעי היא הצגה שלו כסכום של חלקים, כמו . שתי חלוקות שההבדל היחיד ביניהן הוא סדר הרכיבים, נחשבות לאותה החלוקה. החלוקות מופיעות בתחומים שונים בקומבינטוריקה, כגון פולינומים סימטריים ותורת ההצגות של החבורה הסימטרית.

מספר החלוקות השונות של n נקרא פונקציית החלוקה של n, ומקובל לסמנו ב- . לדוגמה, החלוקות השונות של 3 הן , ושל 4 הן . מכיוון של- 4 יש חמש חלוקות, . עבור הערכים , פונקציית החלוקה מקבלת את הערכים הבאים: . ערכי הפונקציה גדלים במהירות: , ואילו . ג. ה. הארדי וראמאנוג'ן הוכיחו ב- 1917 [1] את הנוסחה האסימפטוטית . לצורך כך השתמשו הארדי וראמאנוג'ן בתאוריה של תבניות מודולריות, שהם היו ממייסדיה, כשהמציאו את "שיטת המעגל" לצורך הערכת המקדמים של פונקציית תטא המתאימה לפונקציית החלוקה, .

בין התכונות המפתיעות של פונקציות החלוקה אפשר למנות את הקונגרואנציות שגילה ראמאנוג'ן: לכל n, מתחלק ב-5. באופן דומה מתחלק תמיד ב-7, ו- מתחלק ב-11. תוצאות אלה קשורות במספרים מצולעים. מאוחר יותר התגלה גם שהמספרים מתחלקים ב-13. בשנת 2000 הוכיח קן אונו שזהויות כאלו קיימות לכל מספר ראשוני ומספר שנים לאחר מכן תוצאה זו הורחבה לכל מספר שלם שזר ל-6.

פונקציה יוצרת[עריכת קוד מקור | עריכה]

את פונקציית החלוקה חקר לראשונה לאונרד אוילר, שמצא עבור הפונקציה היוצרת שלה פירוק למכפלה אינסופית , צעד שבמידת מה נחשב לראשיתה של תורת המספרים האנליטית.

הפירוק פשוט להוכחה באמצעות הנוסחה לסיכום טור הנדסי:

מספר הפעמים שהאיבר יתקבל בפתיחת המכפלה באגף ימין הוא בדיוק מכיוון ש-i קובע באופן יחיד את מספר הפעמים שהמספר k מופיע בחלוקה נתונה.

מאותו הטעם, באופן כללי הפונקציה היוצרת של מספר החלוקות בהן מופיעים רק מספרים מקבוצה הוא: .

באמצעות מניפולציה על הפונקציה היוצרת, נובעת ממשפט המספרים המחומשים נוסחת הנסיגה:

כאשר הוא המספר המחומש המוכלל ה-n-י. זהו סכום סופי, מכיוון ש- (סכום ריק) ולכל k שלילי .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא פונקציית החלוקה בוויקישיתוף

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Hardy, G. H.; Ramanujan, S., Asymptotic formulae in combinatory analysis., J. Lond. M. S. Proc. (2) 17, 75-115 (1917); הופיע גם ב- Hardy, G. H. and Ramanujan, S. "Asymptotic Formulae in Combinatory Analysis." Proc. London Math. Soc. 17, 75-115, 1918