פורטל:מתמטיקה/משפטים והשערות/11

אי שוויון הממוצעים הוא אי-שוויון מפורסם הקושר בין הממוצע החשבוני והממוצע ההנדסי של סדרה סופית של מספרים. זהו אי-שוויון בסיסי באנליזה מתמטית, ויש לו שימושים חשובים והכללות רבות. את אי-השוויון גילה והוכיח אוגוסטין קושי, וברבות השנים התגלו עשרות הוכחות אחרות.

באותו שם נקרא גם אי שוויון בין הממוצע ההנדסי לממוצע ההרמוני; יחדיו, טוענים שני אי-השוויונות שלכל קבוצה $\ a_{1},\dots ,a_{n}$ של מספרים ממשיים חיוביים, מתקיים $\ {\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+\dots +{\frac {1}{a_{n}}}}}\leq (a_{1}\cdots a_{n})^{1/n}\leq {\frac {a_{1}+\dots +a_{n}}{n}}$, כלומר הממוצע ההרמוני קטן או שווה לממוצע ההנדסי, והממוצע ההנדסי קטן או שווה לממוצע החשבוני. בשני המקרים לא מתקיים שוויון, אלא אם כל המספרים $\ a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ שווים זה לזה.

לערך המלא