קבוצה ממידה אפס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

קבוצה בעלת מידה אפס היא קבוצה שמידת לבג שלה היא אפס. אינטואיטיבית זוהי קבוצה ש"אורכה" , היא קטנה כל כך עד כדי כך שהיא איננה משפיעה אינטגרל לבג של פונקציות המוגדרות בקבוצה כלשהי המכילה אותה.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

באופן ישיר, נאמר שקבוצה בישר הממשי היא בעלת מידה אפס או קבוצת אפס אם לכל קיים כיסוי בן-מניה של קטעים פתוחים המכסה את ושסכום אורכיו קטן מאפסילון. כלומר:

עבור מידה שלמה (ומידת לבג היא שלמה) כל קבוצה בעלת מידה אפס היא מדידה, וכך גם כל תת-קבוצה שלה מדידה ובעלת מידה אפס.

משמעות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאמור בתחילת הערך, המשמעות האינטואיטיבית של היות קבוצה בעלת מידה אפס היא שהקבוצה "זניחה" כך שהיא איננה משפיעה על תכונות אינטגרליות (במובן לבג) של הפונקציה.

דוגמאות לקבוצות בעלות מידה אפס[עריכת קוד מקור | עריכה]

להלן מספר דוגמאות ומקרים כלליים של קבוצות בעלות מידה אפס:

  • הקבוצה הריקה
  • נקודה בודדת בישר הממשי.
  • כל קבוצה בעלת מספר סופי של איברים.
  • כל קבוצה בת מנייה בישר הממשי.
    • הוכחה: יהי ותהי מניה של איברי הקבוצה . נכסה כל איבר בקטע הממורכז סביבו שאורכו הוא . ברור ש- וכמו כן (סכום טור הנדסי) ולכן כיסינו את באמצעות קטעים שאורכם הכולל קטן מ-.
  • קבוצת קנטור: זו דוגמה לקבוצה בעלת מידה אפס אף על פי שהיא איננה בת-מנייה אלא עוצמתה היא עוצמת הרצף.
  • קבוצת המספרים שאינם נורמליים: גם זו קבוצה בעלת מידה אפס שאינה בת מנייה.
  • ישר הוא קבוצה ממידה אפס במישור (כאשר מידת לבג היא הכללה של שטח).
  • באופן יותר כללי, קבוצת הנקודות של כל יריעה אלגברית ואף כל יריעה אנליטית ממימד קטן מ- ב- היא ממידה אפס.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]