קריטריון אייזנשטיין

במתמטיקה, קריטריון אייזנשטיין (על שם המתמטיקאי הגרמני פרדיננד אייזנשטיין) הוא תנאי מספיק לכך שפולינום בעל מקדמים שלמים הוא אי פריק מעל חוג המספרים השלמים $\mathbb {Z}$ (על פי הלמה של גאוס, פולינום כזה הוא גם אי פריק מעל שדה המספרים הרציונליים $\mathbb {Q}$).

נוסח המשפט

פולינום $f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n}$ בעל מקדמים שלמים מקיים את תנאי אייזנשטיין אם קיים מספר ראשוני $p$ עבורו

• $p$ מחלק את $a_{0},\ldots ,a_{n-1}$.
• $p$ לא מחלק את $a_{n}$.
• $p^{2}$ לא מחלק את $a_{0}$.

פולינום המקיים תנאי זה לא ניתן לפירוק מעל חוג המספרים הרציונליים (למעט הוצאת גורם משותף מן המקדמים), ולעיתים נקרא פולינום אייזנשטיין.

באופן כללי יותר, פולינום המוגדר מעל תחום שלמות $D$ מקיים את תנאי אייזנשטיין אם קיים אידיאל ראשוני $P$ של $D$, כך שכל מקדמי הפולינום פרט למוביל שייכים ל-$P$, וכך שהמקדם החופשי איננו שייך לאידיאל $P^{2}$. במקרה זה הפולינום אי פריק מעל $D$ (אם $D$ הוא תחום פריקות יחידה, אזי הפולינום אי פריק מעל שדה השברים של $D$, לפי הלמה של גאוס).

בשדה מקומי, כל הרחבה מסועפת לחלוטין מתקבלת מסיפוח שורש של פולינום אייזנשטיין לשדה.

דוגמאות

• יהי $p$ ראשוני, אזי $f(x)=x^{n}-p$ מקיים את קריטריון אייזנשטיין ולכן הוא אי פריק.
  
• הפולינום הציקלוטומי $f(x)=1+x+\cdots +x^{p-2}+x^{p-1}={\frac {x^{p}-1}{x-1}}$ אי פריק כאשר $p$ ראשוני.
  הדרך הקלה להוכיח זאת היא באמצעות ההבחנה כי $f(x+1)$ מקיים את קריטריון אייזנשטיין עבור $p$.
  
• נתבונן בפולינום $g(x)=10+15x^{2}+3x^{4}$. הגורם המשותף של המקדמים 10 ו-15 הוא ראשוני, 5. אך 5 איננו מחלק את 3 (המקדם המוביל) ו-$5^{2}=25$ איננו מחלק את 10 (המקדם החופשי) – הפולינום עונה על התנאי ולכן הוא אי פריק מעל השלמים.
  
• ישנם פולינומים המקיימים את קריטריון אייזנשטיין אחרי הצבת הזזה $x=y+a$, כאשר $a$ קבוע.

התבוננו למשל בפולינום $h(x)=2+x+x^{2}$. נראה שאין ראשוני המחלק את 1, המקדם של $x$. אך אם נציב $x+3$ נקבל את הפולינום $h(x+3)=14+7x+x^{2}$, אשר מקיים את הקריטריון עבור המספר הראשוני 7. לאמר, על ידי הזזת הפולינום עלה בידינו להראות שהוא מקיים את קריטריון איזנשטיין.

הוכחה

להלן ההוכחה עבור פולינום בעל מקדמים שלמים. ההוכחה לתחום שלמות כללי דומה.
נתבונן ב-$f(x)$ כפולינום מודולו $p$, כלומר נעתיק את המקדמים לשדה $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$. מכיוון שכל המקדמים פרט למקדם המוביל מתחלקים ב-$p$ נקבל את הפולינום $cx^{n}$ עם מקדם $c\neq 0$.
נניח בשלילה שניתן לפרק את $f$ למכפלת שני פולינומים $g,h$. נקבל כי

${\begin{aligned}&g\equiv ax^{k}\!\!\!\!{\pmod {p}}\\&h\equiv bx^{n-k}\!\!\!\!{\pmod {p}}\end{aligned}}$

מכאן $p$ מחלק את המקדמיהם החופשיים של $g,h$ ולכן $p^{2}$ מחלק את המקדם החופשי של המכפלה, בסתירה להנחה.

קישורים חיצוניים

• קריטריון אייזנשטיין, באתר MathWorld (באנגלית)