שיחה:הלומתאן

תרגיל בקומבינטוריקה[עריכת קוד מקור]

”יש 624 הלומתאנים סך הכל כי יש 5⁴ אפשרויות(625 אפשרויות)-אפשרות אחת(מתאן)=624 הלומתאנים.”

האומנם? מסביב לאטום הפחמן יש ארבעה אטומים שכל אחד מהם יכול להיות מימן, פלואור, כלור, ברום, או יוד; אבל בגלל המבנה המרחבי הסימטרי, אין חשיבות לסדר. לכן מספר האפשרויות קטן משמעותית מ- 5⁴ המצוטט.

4 אפשרויות שבהן רק אחד האטומים אינו מימן (יש 4 אפשרויות לבחור אטום כזה)
4 אפשרויות שבהם רק שני אטומים אינם מימן והם זהים (כמו קודם)
4 אפשרויות שבהם שלושה אטומים אינם מימן והם זהים (כנ"ל)
${4\cdot 3 \over 2}=6$ אפשרויות שבהן שני אטומים אינם מימן והם שונים זה מזה (4 לראשון, 3 לשני, וזוגות עם סדר הפוך הם שקולים)
$4\cdot 3=12$ אפשרויות שבהן שלושה אטומים אינם מימן, מתוכם שניים זהים והשלישי שונה מהם (4 אפשרויות לזוג, כפול 3 אפשרויות לשלישי)
${4! \over 3!}={4\cdot 3\cdot 2 \over 3\cdot 2}=4$ אפשרויות שבהן שלושה אטומים אינם מימן והם שונים זה מזה

בסה"כ אני סופר 34 אפשרויות. בעלי הידע בכימיה, האם פספסתי משהו?

כמו כן, בעלי הידע במתמטיקה, אני מניח שיש דרך מסודרת יותר לחשב זאת? הכללה של נוסחת הצירופים?

צחקשוח - שיחה 00:29, 25 בפברואר 2021 (IST)[תגובה]

אין לי מושג אם ההנחה הכימית שלך נכונה (שהמימנים במולקולת מתאן סימטריים). אגיב רק על הטיעון המתמטי בהנחה שזו הנחה נכונה. שכחת לספור את כל המקרים בהם אף אחד מהאטומים אינו מימן. הדרך הפשוטה לחשב את המספר הנכון היא כך: נשים לב שזו בעיה שקולה לספירת מספר הדרכים לפזר 4 כדורים זהים (האטומים במולקולה) ב-5 תאים שונים (היסודות האפשריים). זו בתורה בעיה שקולה למספר האפשרויות להרכיב מילה עם ארבעה סימני * וארבעה סימני | (למשל המילה **|*||*| שקולה ל-2 כדורים בתא הראשון, כדור אחד בתא השני וכדור אחד בתא הרביעי). מספר המילים האלו הוא כמספר התמורות על 8 איברים לחלק לתמורות הפנימיות על * ועל |, כלומר

{\frac {8!}{4!\cdot 4!}}=70

. ספרנו ככה גם את מתאן עצמו, ולכן התשובה הסופית היא 69. דניאל 01:20, 25 בפברואר 2021 (IST)[תגובה]

עוד תוספת למספר האפשרויות: בכל מקרה בו יש 4 אטומים שונים מסביב לאטום הפחמן למשל CHFClBr יש שני אננטיומרים כלומר שתי מולקולות שהן השתקפויות מראה זו של זו ושאינן ניתנות לחפיפה. יורם שורק - שיחה 09:38, 26 בפברואר 2021 (IST)[תגובה]

תודה לך דניאל (המתאן הוא מולקולה במבנה טטראדר סימטרי) וגם לך יורם! אז יש לי כמה טעויות...

צריך להוסיף: ארבעה אטומים שונים שאינם מימן - יש אפשרות אחת בלבד;
שכחתי מקרה של שני זוגות שונים שאף אחד אינו מימן - 6 צירופים אפשריים (4 אפשרויות לזוג הראשון, 3 לשני, אבל הסדר בין הזוגות לא חשוב)
מקרה נוסף ששכחתי - שלושה מיסוד אחד ואחד מיסוד אחר, אף אחד אינו מימן - 12 צירופים;
מקרה נוסף - שניים, אחד, אחד, אף אחד אינו מימן - שוב 12 צירופים;
וכמובן את 4 האפשרויות שכל 4 האטומים זהים ואינם מימן.

בסה"כ ל-34 מקודם צריך להוסיף עוד 35 ששכחתי שמביאים אותנו ל-69 של דניאל (הדרך שהבאת יותר אלגנטית, רציתי רק לוודא שהמיון שלי נותן אותה תוצאה...) אבל, בחישוב הזה לא הובאו בחשבון אננטיומרים כפי שציין יורם. מתוך ה-69 יש רק 5 מקרים שאינם סימטריים לשיקוף במרחב: אלה 5 האפשרויות לבחור יסוד אחד שלא משתתף במולקולה בעוד ש-4 היסודות האחרים מופיעים פעם אחת כל אחד, כך שלמולקולה אין אף ציר סימטריה. לכן אם מתייחסים לאננטיומרים כחומרים נפרדים מקבלים 74 הלומתאנים שונים. צחקשוח - שיחה 16:25, 26 בפברואר 2021 (IST)[תגובה]

נראה שהדיון פה הגיעה למסקנה סופית. אז מישהו מתכוון לתקן את הערך בהתאם? אוריאל, Orielno - שיחה 12:02, 24 במרץ 2021 (IST)[תגובה]

לפי הערתו של יורם שורק, חבורת הסימטריות של המולקולות המדוברות היא חבורת התמורות הזוגיות A_4. הלמה של ברנסייד סופרת את המסלולים של החבורה הזו בפעולה שלה על מרחב הצביעות של קודקודי הטטראדר ב-n צבעים, בתור ${\frac {1}{12}}(n^{4}+8\cdot n^{2}+3\cdot n^{2})$ , ועבור n=5 אטומים, מתקבל ${\frac {1}{12}}(5^{4}+8\cdot 5^{2}+3\cdot 5^{2})=75$ (כולל הצביעה הטריוויאלית שהוגדרה כאן כ"מתאן"). עוזי ו. - שיחה 02:06, 17 בינואר 2022 (IST)[תגובה]