שיחה:חבורה (מבנה אלגברי)

אם אינני טועה לא קוראים לזה "הפיכות" אלא " קומוטטיביות" אם אני צודק אנא תקן

קומוטטיביות פירושה ab=ba לכל האיברים בחבורה. זו תכונה חזקה, שלא תמיד מתקיימת בחבורות. לעומת זאת, הפיכות דורשת שלכל איבר יהיה קיים הופכי. קל להוכיח שהופכי ימני הוא גם הופכי שמאלי, ושההופכי של איבר הוא יחיד, ולכן איבר וההופכי שלו מתחלפים, אבל זה עדיין לא אומר שכל שני איברים מתחלפים. גדי אלכסנדרוביץ' 16:12, 30 יולי 2004 (UTC)

הגדרות

כדאי אולי להוסיף בסוף כל פרק את רשימת המונחים המתמטיים וכן את המונח המקורי באנגלית.--DavidD 09:35, 27 ינו' 2005 (UTC)

עזרה

בסעיף "מחלקות" ניסיתי לרשום {a} (קבוצה המכילה את a בלבד) טולא הצלחתי, אנא עזרו לי. בתודה מראש. אלון

אני לא בטוח איפה בסעיף בדיוק רצית לעשות את זה (ראיתי שרצית לכתוב {[a]}, וזה לא אותו הדבר). באופן כללי, הנה איך עושים את זה: $\ \left\{a\right\}$. גדי אלכסנדרוביץ' 19:49, 13 מאי 2005 (UTC)

כמה שאלות

1. "כל מכפלת איברים בחבורה הינה סדורה (אין משמעות מיוחדת לסדר ביצוע הכפל)" - לא הבנתי משפט זה. האם הכוונה היא להכללת תנאי האסוציאטיביות של חבורות עבור מספר כלשהו של איברים?
2. בסעיף מחלקות -
   1. ראשית, אני מאמין שהכיוונים התהפכו, ומחלקות ימניות מכונות שמאליות ולהפך.
   2. שנית, אני מאמין שצריך היה להכתב שהמחלקה $\ aH$ היא המכפלה $\ {a}H$ (ולא מכפלת החבורה הנוצרת על ידי $\ a$ ו$\ H$. קיים הבדל בין ההגדרות למשל עבור $\ {1}\cdot 2Z$ לעומת $\ [1]\cdot 2Z=Z\cdot 2Z=Z$)
   3. שלישית, מאיפה הגיע $\ T$ לסיפור? אני מעריך שהכוונה הייתה ל$\ H$.
   4. רביעית, בנוגע לציון (האינדקס כפי שהוא מוכר לי) - הסימון של אות אחת (m) באמצעות אות אחרת (k) נשמע לי מוזר מעט. (במיוחד בהתחשב בכך שהוא לא מכיל כל מידע בנוגע לחבורות המדוברות) הסימון המוכר לי הוא $\ Ind_{G}H$. (האינדקס של H בG)

1. לדעתי כן.
2. 1. לדעתי זו שאלה של הגדרה, וייתכן שיש כאלו שמגדירים כך ואחרים שמגדירים הפוך. אין לי ספר לידי כרגע אז אני לא יכול לבדוק.
   2. כל ההגדרה עקומה. צריך לכתוב במפורש מה זו המכפלה הזו, ואני אעשה זאת.
   3. כן, זו כנראה טעות. אני אתקן.
   4. הסימון באמת לא ברור. שיניתי את זה קודם לסימון שאני מכיר, ואני אוסיף גם את הסימון שלך. גדי אלכסנדרוביץ' 13:02, 11 מאי 2006 (IDT)

מיותר?

לדעתי הסעיף "חזקות" מיותר לגמרי, וכן הפירוט של מה הוא יחס שקילות בסוף. בשביל זה יש קישור. אם אף אחד לא מתנגד אני אמחוק. טוב? --יוחאי • שיחה 02:19, 5 בפברואר 2007 (IST)

אני מתנגד. כל מי שניסה להוכיח במו ידיו את חוקי החזקות לא יכול לראות אותם כמשהו מובן מאליו שאין צורך אפילו לציין כאן, ואיני חושב שיש רע בחזרה על תכונות יחס השקילות כאן - אנשים לא ימותו מחשיפת יתר, ולא תמיד כדאי לשלוח אותם לקרוא ערך חדש לגמרי. גדי אלכסנדרוביץ' 08:32, 5 בפברואר 2007 (IST)

הגדרה - סגירות

כרגע מופיעה בערך ההגדרה -

חבורה $\ G$ היא מבנה אלגברי בסיסי הכולל קבוצה עם פעולה בינארית (סגורה) $\cdot$ אשר מקיימת את שלוש התכונות הבאות: אסוציאטיביות, קיום איבר יחידה והפיכות.

מדוע בעצם להפריד בין הסגירות לשאר התכונות ולציין את הדרישה הזו במשפט הראשון? בניסוח הנוכחי נדמה כאילו הפעולה צריכה להיות סגורה, ולא הקבוצה סגורה ביחס לפעולה. ההגדרה שאני מכיר מדברת על קבוצה ופעולה כך שמתקיימות ארבע תכונות - סגירות, אסוציאטיביות, קיום איבר יחידה והפיכות - וכך גם מופיע בערך האנגלי. יש מתנגדים לשינוי? ‏ costello • ‏ שיחה 14:16, 30 ביוני 2008 (IDT)

שיניתי. ‏ costello • ‏ שיחה 21:20, 2 ביולי 2008 (IDT)

קיום איבר נגדי

חבורה חייבת לקיים גם קיום איבר נגדי, מה שלא מופיע בהגדרות החבורה פה. קיום איבר נגדי אומר שלכל a שייך ל - A ולכל b שייך ל - B, הפעולה a*b=e, כלומר שווה לאיבר הניטרלי.

תכונה זו מופיעה כרגע בשם "הפיכות". שני השמות ("הופכי" ו"נגדי") מקובלים, אך נהוג להשתמש ב"הופכי" כאשר הפעולה מסומנת ככפל, וב"נגדי" כאשר הפעולה מסומנת כחיבור. שים לב שהכרחי לדרוש a*b=b*a=e (לא מספיק להסתפק ב-a*b=e). גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 00:34, 2 באוקטובר 2009 (IST)

לתכונה "לכל a שייך ל - A ולכל b שייך ל - B, הפעולה a*b=e, כלומר שווה לאיבר הניטרלי" קוראים טריוויאליות. עוזי ו. - שיחה 01:38, 2 באוקטובר 2009 (IST)

גדי - קבל הוכחה.

נניח שלכל אבר יש הפכי משמאל. נוכיח שהוא גם הפכי משמאל. ראשית נוכיח למה קטנה: אם a*a=a אז a=1 וזה קל לראות על ידי הכפלה בהפכי מימין. עכשיו נסמן את ההפכי של a משמאל ב b ונרצה להוכיח ש ab=1. הנה: $\ (ab)(ab)=a(ba)b=ab$ ולכן ab=1, כלומר יש ל a אותו הפכי משמאל ומימין. אז למה צריך לדרוש את שני הכיוונים? יוחאי • שיחה 19:38, 2 באוקטובר 2009 (IST)

נראה לי שאתה צודק והתבלבלתי - אולי חשבתי על חוגים. מצד שני, אולי גם עכשיו אני מתבלבל.... גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 23:14, 2 באוקטובר 2009 (IST)

העברה

אוסף האיברים ההפיכים במונויד הוא חבורה. העובדה הזו שייכת לערך הזה, לא פחות משהיא שייכת לערך מונויד. עוזי ו. - שיחה 17:22, 25 במרץ 2011 (IST)

העובדה שאוסף האיברים ההפיכים במונויד הוא חבורה, צריכה אולי להרשם בערך זה (במסגרת רשימה של דוגמאות של חבורות אם יש מקום לרשימה כזאת, או אם מדובר בחבורה מיוחדת הראויה לציון, במסגרת אחרת בה יצויין מה מיוחד בחבורה זאת). אולם בין רישום עובדה זאת: "אוסף האיברים ההפיכים במונויד הוא חבורה" לבין שתי הפסקאות שהוחזרו לערך ומפריעות לקורא אין ולא כלום. עדירל - שיחה 19:11, 26 במרץ 2011 (IST)

"מפריעות לקורא"?! יכולתו של עדירל לכתוב בביטחון גמור ובתקיפות רבה בתחומים שבהם אינו מבין דבר וחצי דבר מפתיעה אותי בכל פעם מחדש, אבל אולי הגיע הזמן שאתרגל. דוד שי - שיחה 07:42, 27 במרץ 2011 (IST)

תודה רבה על המחמאה. כדי לכתוב ערך צריך בנוסף לידע בתחום גם יכולת כתיבה וגם יכולת לראות איך הקורא שאינו מבין בתחום קורא אותו. אנשים המבינים בתחום מתקשים לראות את הקשיים של הקורא מכיוון שהם משלימים את הפערים שיש בערך. ניקח לדוגמא את המקרה הזה. שתי פסקאות בערך דברו על חבורות למחצה ולא חבורות. לקורא המבין בתחום זה לא מפריע. מיד לאחר שמגדירים חבורה ונותנים כמה דוגמאות, אפשר לעבור להרחבה של המושג, הרחבה שממנו נגזרות עוד דוגמאות. לעומת זאת, הקורא שאינו מבין בתחום, טרם הבין על מה מדובר. הוא לא יודע לשם מה יש חבורות, ומה הם האלמנטים המרכזיים בהם. פתאום קופצים עליו עם הרחבה של המושג, ללא שטורחים לאמר לו שמדובר בהרחבה. אין כמעט אדם שאינו בקיא היטב בתורת החבורות שיוכל לצלוח את הפסקאות הללו במצבן הנוכחי ובוודאי שלא במצבן הקודם.

היכולת שלי לראות את הבעיות הללו נובעת מכך שאיני מתבייש להציג את עצמי כמי שאינו מבין ואינו מצליח למלא את הפערים. רבים מדי מתביישים להודות בכך שהמלך עירום כי הם מיד יואשמו שהאשמה בחוסר הבנתם (האשמה לא חכמה במיוחד באנציקלופדיה שמיועדת לקוראים שאינם מבינים בתחום). אני כל פעם מופתע מחדש שאלו שמבינים אינם מקשיבים לביקורת שנועדה לעזור להם לראות את הפגמים בכתיבתם ובמקום זאת מאשימים את השליח או סתם מזלזלים בו ובביקורתו. אין ספק שזה מקנה לערכים שלהם חסינות מסויימת מביקורת והילה של ערכים שאין צורך לתקנם, אבל הקוראים שאינם שייכים לקהילת עורכי ויקיפדיה, שהם הרוב המוחלט, אינם שותפים להענקת הילה זאת. הם פשוט נשארים בלי ערכים טובים בויקיפדיה ומחפשים את המידע שהם מתעניינים בו במקום אחר. עדירל - שיחה 11:59, 27 במרץ 2011 (IST)

שכתבתי את הפסקה על הקשרים עם מבנים אחרים, והעברתי אותה לסוף הערך. עוזי ו. - שיחה 12:24, 27 במרץ 2011 (IST)

לדעתי הדרך הנוכנה להנגשת ערכים מתמטיים היא לא לשנות את החומר הקיים שמיועד למי שיותר מצוי בפרטים, אלא להרחיב כמה שיותר בדוגמאות. ויקיפדיה האנגלית עושה עבודה יפה באספקט הזה כפי שניתן לראות בערכים en:Group (mathematics) וen:Ring (mathematics). אני מוכן לכתוב ערך דוגמאות לחבורות שייתן 5 דוגמאות לחבורות מתחומים שונים ושמדגים כיצד כל אחת עונה להגדרה ומדגימה את הכוח של המושג שמתאר הרבה תופעות שונות. דניאל ב. 13:40, 27 במרץ 2011 (IST)

אין סיבה שזה יהיה ערך נפרד. הערך הנוכחי, שעוסק בצדדים טכניים ואינו עוזר להבין מדוע חבורה היא אובייקט כל-כך מרכזי, באמת אינו מספיק טוב. עוזי ו. - שיחה 14:21, 27 במרץ 2011 (IST)

הערה קטנה לגבי הפסקה "יוצרים ויחסים"

לחבורה שאינה בת מנייה אין קבוצת יוצרים סופית.

לפי הידוע לי שישנם 2 הגדרות לא שקולות לקבוצת בת מניה:

1. תהי $A$ קבוצה. נאמר ש $A$ היא קבוצת בת מניה אם מתקיים: $|A|\leq \aleph _{o}$.
2. תהי $A$ קבוצה. נאמר ש $A$ היא קבוצת בת מניה אם מתקיים: $|A|=\aleph _{o}$.

בערך בת מנייה מופיעה הגדרה ששקולה להגדרה השנייה ואם מסתמכים על הגדרה זו יוצא שלחבורה סופית אין קבוצת יוצרים סופית (מכיוון שאינה בת מניה). שזו, כמובן, טענה שגויה לחלוטין.

לכן, אני חושב שיש לשנות את המשפט הנ"ל. רן ס - שיחה 17:05, 22 בנובמבר 2012 (IST)

אפשר להבין מההקשר. עוזי ו. - שיחה 19:35, 22 בנובמבר 2012 (IST)