שיחה:נגזרת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

האם כדאי לפתוח ערך נפרד עבור "נגזרת של פונקציה בכמה משתנים?", יש הרבה מה לכתוב בנושא...


האם אתם חושבים שכדאי להוסיף (בעמוד נפרד, כנראה) גם הוכחות לכל הנגזרות האלמנטריות? בלעדיהן העמוד הזה משמש כמקור ידע, אבל אני אישית מתקשה לראות במשפט מתמטי בלי הוכחה (אפילו כזו שאני לא מצליח להבין) מקור אמין. Gadial

כבר יש הוכחות אחדות בויקיפדיה, כך שעוד כמה לא יזיקו. דוד שי 09:53, 31 ינו' 2004 (UTC)


שלום לכולם. יש לנו, חבורה של סטודנטים, שלא יודעים מטמטיקה... איך גוזרים את הפונקצייה הבאה...

f(x)= sin^8(3x^2)...מחכים לתשובה בהקדם... עניין של חיים או מוות!!! דחוף!!! יותר דחוף מזה אין!!! תודה מראש!! סטודנטים בבולונייה, איטליה.

למרבה המזל, יש בערך את כל המידע לו אתם זקוקים. הפונקציה המדוברת היא פונקציה מורכבת, ועל כן עליכם להשתמש בכלל השרשרת. שימו לב שעליכם להשתמש בו פעמייים - פעם אחת כשהפונקציה היא חזקת שמונה, והפונקציה הפנימית היא הסינוס משהו, ובפעם השנייה כשהפונקציה היא סינוס, והפונקציה הפנימית היא ה"משהו". לגזור פולינום אתם כבר יודעים, זה לא קשה במיוחד. אני אפילו אגלה לכם: . בהצלחה! גדי אלכסנדרוביץ' 19:55, 29 נוב' 2004 (UTC)

איך גוזרים נגזרת של אינטגרל? כאשר המשתנה הוא בתוך האינטגרל וכאשר המשתנה הוא בגבול של האינטגרל?

עזרה מיידית לנגזרת של אינטגרל[עריכת קוד מקור]

איך גוזרים נגזרת של אינטגרל? כאשר המשתנה הוא בתוך האינטגרל וכאשר המשתנה הוא בגבול של האינטגרל?

זה תלוי על איזה אינטגרל אתה מדבר. נניח, אם יש לך , הדבר הזה ("אינטגרל לא מסוים") הוא פשוט פונקציה של שמקיים את התנאי , אז אני מניח שהתשובה ברורה. אותו הדבר לגבי האינטגרל (המסויים) , שאפשר (בערך) לראות אותו בתור ניסוח של אינטגרל לא מסויים כאינטגרל מסוים. אני מניח שכוונתך היא למקרה השני ושאתה עוסק בפונקציה של משתנה יחיד (במה שמכונה "אינטגרל התלוי בפרמטר", למשל זה טיפה יותר מורכב), ובמקרה זה הנגזרת היא כאמור הפונקציה שרשומה תחת סימן האינטגרל. עיין בערך המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי כדי להבין למה זה נכון. גדי אלכסנדרוביץ' 20:24, 12 ינו' 2005 (UTC)

השינוי שנעשה בערך[עריכת קוד מקור]

המשפט "ההפך לא תמיד נכון - נגזרת יכולה להיות שווה לאפס גם בנקודה שאינה מקסימום או מינמום. במקרה זה הנקודה נקראת נקודת פיתול" שונה והורד החלק האחרון שבו המדבר על נקודת הפיתול. למה? אפשר דוגמא לנקודה בה הנגזרת שווה לאפס והיא אינה לא נק' מינימום או מקסימום וגם לא נקודת פיתול (אנחנו עוסקים, כזכור, בפונקציות של משתנה אחד). גדי אלכסנדרוביץ' 06:58, 26 יוני 2005 (UTC)

עד לבוא ההסבר החזרתי את המשפט שהורד, והוספתי דוגמאות להבהרת העניין. דוד שי 07:47, 26 יוני 2005 (UTC)
לדוד: המשפט אינו נכון ולכן הסרתי אותו - ולא היית צריך לשחזר. נכון שהייתי צריך להוסיף הסבר בדף, אבל זמני קצר. גדי הגיב בצורה מכובדת, עניינית ונכונה: שאל את השאלה ולא ניסה לשנות עד לבוא התשובה. בשתי מילים, לפונקציה יש נגזרת השווה לאפס בנקודה אפס. אך זוהי אינה מינימום, אינה מקסימום ואינה נקודת פיתול. כשיהיה לי זמן ארשום תשובה מפורטת יותר. (ותרשום בבקשה תלונה ממני בדף השיחה שלך על התנהגות לא נאותה של משתמש). אבינעם 08:22, 26 יוני 2005 (UTC)
אל נא באפך, אבינעם. הדרך שהלכת בה היא דרך של נסיגה (מחיקת משפט שאינו נכון, והשארת חלל ריק), ואילו הדרך שאני הולך בה היא דרך של התקדמות (הבאת כל המידע לקורא, כולל הדוגמה שהבאת כאן). כשיהיה לך זמן עוד תוכל להרחיב. דוד שי 08:40, 26 יוני 2005 (UTC)
לדוד: התקדמות היא לא תמיד דבר חיובי (כפי שאמר כבר מנכ"ל של איזו שהיא חברה: בשנה שעברה היינו על-פי התהום. השנה צעדנו צעד אחד קדימה). עדיף חלל על-פני מידע שגוי. לעצם העניין. הרי ההסבר:

דוגמה[עריכת קוד מקור]

אם בנקודה מסויימת הנגזרת היא אפס, באותו נקודה אין הכרח שיהיה מינימום או מקסימום או נקודת קיצון. לדוגמה, נגדיר את הפונקציה:

פונקציה זו רציפה באפס (מכפלה של פונקציה חסומה בפונקציה השואפת לאפס), היא גם גזירה באפס:

אולם אפס אינה נקודת קיצון: נגדיר , , אזי . מכאן שבכל סביבה של אפס יש אינסוף נקודות בהן הפונקציה חיובית, ואינסוף נקודות בהן הפונקציה שלילית, ולכן אפס אינה יכולה להיות נקודת קיצון. אפס גם אינה נקודת פיתול, שכן נקודת פיתול היא נקודה שבה המשיק לגרף הפונקציה נמצא מצד אחד מעל הפונקציה, ובצד השני מתחת לפונקציה. במקרה זה המשיק הוא (ציר ), ואותו טיעון כמו קודם מראה שאין חצי סביבה של אפס שבה הפונקציה כולה מתחת או מעל לציר ה-. כלומר, למרות שהנגזרת היא אפס, הנקודה אינה נקודת קיצון, ואינה נקודת פיתול.

הערות נוספות על הפונקציה[עריכת קוד מקור]

  • אם נגזור אותה, נקבל כי הנגזרת היא:

כלומר הנגזרת אינה רציפה באפס (זוהי אי-רציפות מן הסוג השני, כפי שמבטיח משפט דארבו).

  • דוגמה מעניינת נוספת היא הפונקציה:

זוהי פונקציה רציפה וגזירה. לפונקציה זו יש מינימום מקומי באפס, אבל בניגוד לאינטואיציה אין חצי סביבה שמאלית של אפס שבה הפונקציה מונוטונית יורדת, ואין חצי סביבה ימנית של אפס שבה הפונקציה מונוטונית עולה.

בברכה, אבינעם 20:39, 29 יוני 2005 (UTC)

חשוב להכניס דוגמה מעניינת זו לערך זה או לערך אחר שהיא מתאימה להיות בו. דוד שי 20:45, 29 יוני 2005 (UTC)
תעביר את הדוגמה לערך, שם מקומה. גדי אלכסנדרוביץ' 20:46, 29 יוני 2005 (UTC)
עשיתי זאת. דוד שי 21:27, 29 יוני 2005 (UTC)
תודה על התגובות.:-) אבינעם 21:30, 29 יוני 2005 (UTC)

נגזרת כללית יותר[עריכת קוד מקור]

האם לדעתכם כדאי להוסיף לערך מקרים כלליים יותר של נגזרת (נגזרת שמוגדרת על יריעה דיפנרציאלית?)

Liransh 20:41, 25 מרץ 2006 (UTC)

למה לא. אבל אם אתה מתכוון לכתוב על זה באריכות, כדאי לשקול הפרדה לערך עצמאי. עוזי ו. 02:40, 26 מרץ 2006 (UTC)
אני התחלתי להכליל נגזרות של פונקציות טריגונומטריות, לדוגמא: ((arctan(f(x במקום (arctan(x , אבל מחקו לי בטענה של מיותרות.Ofir michael (שיחה | תרומות | מונה) לא חתם 17:28, 10 ביולי 2011 (IDT)
בצדק: די בכלל לגזירת פונקציה מורכבת. עוזי ו. - שיחה 22:30, 10 ביולי 2011 (IDT)
ראו גם #נגזרת להלן. דוד שי - שיחה 00:21, 12 ביולי 2011 (IDT)

נגזרת של פונקציה סתומה[עריכת קוד מקור]

לא מצאתי אזכור בערך (אולי מלבד נגזרת של פונקציה עם כמה משתנים). לא כדאי להדגים גזירת פונקציה סתומה? 15:00, 31 בינואר 2007 (IST)

נגזרות של פונקציות מעריכיות[עריכת קוד מקור]

הכיתוב המתמטי היה לא ברור, בגרסה הקודמת, היה נראה כאילו הנגזרת של הלוגריתם הטבעי של איקס, היא אחד חלקי הנגזרת של איקס. הוספתי מרווח שמור כדי שהפסיק לא יראה כנגזרת, וכעת הכיתוב ברור יותר. ראו גם הערך האנגלי... עוז

מבוא[עריכת קוד מקור]

הערך זקוק למבוא אשר יסביר את מושג הנגזרת באופן פחות פורמלי, דרך השיפוע והסברת מושג הגבול, לרמה של תלמיד תיכון.

למשל:

פונקציה מתאימה לכל נקודה ערך , בתחום בו היא מוגדרת. גבול של פונקציה בנקודה הוא הערך שאליו קרובים ערכים של הפונקציה בסביבת הנקודה. הנגזרת מוגדרת באמצעות גבול.

עבור נקודה מסוימת, ערכה של נגזרת ניתן לחישוב באופן הבא:

  • קביעת מרחק קטן , וחישוב ערך הפונקציה בנקודה (שגם בה מוגדרת הפונקציה), שהוא
  • שיפוע הקו המחבר את שתי הנקודות במישור, נקודה א' ונקודה ב' הוא
השווה ל-
  • הנגזרת בנקודה היא הגבול של השיפוע הזה עבור מרחק קטן-עד-אינסוף, כלומר שואף ל-0.

הערה: כתבתי זאת בערך והעריכה נמחקה. Setreset - שיחה 16:10, 19 בנובמבר 2009 (IST)

השינוי בפתיח אינו מוסיף אלא גורע. עדיף לפתוח "הנגזרת שווה לשיפוע המשיק לגרף הפונקציה באותה נקודה (ראו איור)." הגדרה אינטואיטיבית וניתנת להמחשה על-ידי איור, ורק אחר-כך לעבור להגדרה הפחות ברורה לקורא הסביר " היחס שבו משתנה ערך הפונקציה בעקבות שינוי זעיר בערך הפרמטר". בברכה, אבינעם - שיחה 23:56, 29 בנובמבר 2009 (IST)
אתה כותב מנקודת מבט של מי שכבר יודע מהי נגזרת. התוספת שלך מציבה בפני הקורא שני מחסומים חדשים: הוא צריך לדעת מהו ישר משיק, ומהו "שיפוע" של ישר. שני מושגים גאומטריים מורכבים. לעומת זאת הנגזרת היא בסך הכל יחס בין שני מספרים, וההגדרה הקודמת הצליחה להבהיר זאת אפילו בלי מושג הגבול. אנא חזור אליה. עוזי ו. - שיחה 08:47, 30 בנובמבר 2009 (IST)
אני זוכר את עצמי לפני שהבנתי מהי נגזרת, ודוגמת המשיק עזרה לי מאוד, מכיוון שהיא משהו שאפשר "לראות" ו"להרגיש". משיק הוא כמובן מושג מורכב מאוד, שהדרך הנכונה להסבירו היא באמצעות נגזרת, אבל אינטואיציה לגבי מה הוא יש לנו עוד מבלי שנדע מהי נגזרת (בפרט מכיוון שנתקלנו במשיק למעגל, אבל גם כי יש לנו תחושה כללית). אפשר להתחיל בתיאור מדוייק של הגדרת המשיק ללא צורך בנגזרות (על ידי השאפת נקודה על העקום לנקודה שבה מחושב המשיק ומתיחת קו דרך שתי הנקודות הללו) - זה מה שעושים בספר של האו"פ. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 14:48, 30 בנובמבר 2009 (IST)
בואו נדמיין כולנו שטרם שמענו על הנגזרת (והמשיק, וגבולות ודיפרנציאלים). אנחנו יודעים מהי פונקציה ממשית ומה משמעות הגרף שלה. מה יותר פשוט: "תוספת קטנה ל-x גורמת לתוספת גדולה פי 4.5 ל-y", או "השיפוע (?) של המשיק (?) לגרף (?) בנקודה הוא 4.5"? עוזי ו. - שיחה 21:51, 30 בנובמבר 2009 (IST)
יש סיבה מדוע אתה מתעלם ממה שאני אומר? כל סימני השאלה מתעלמים מכך שהמושגים המדוברים הם כאלו שלכל מי שמכיר קצת פונקציות קל "לראות". לעומת זאת אני עוד זוכר את עצמי לפני שהבנתי מהי נגזרת מנסה לבדוק ידנית את עניין ה"תוספת קטנה" ונכשל באופן חרוץ כי לא הבנתי עד כמה קטנה היא צריכה להיות (לא עלה בידי להבין למה אמור להתקיים ובאיזה מובן זה בכלל נכון). חוץ מזה, למה "או-או"? אפשר לתת את שתי הדוגמאות. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 12:08, 1 בדצמבר 2009 (IST)
אני אתעלם מהשאלה הראשונה. העדויות האנקדוטליות שלך אינן מקדמות אותנו לשום מקום. משיק קל "לראות" כשמישהו מראה לך - מי שאינו יודע במה מדובר פשוט נתקל כאן במושג קשה בהרבה מזה שמנסים להסביר. וגם למי שיודע מהו משיק, ה"שיפוע" הוא מושג נוסף שההגדרה שלו אינה טבעית כלל (ארקטנגנס הזווית, כזכור). עוזי ו. - שיחה 09:54, 2 בדצמבר 2009 (IST)
הצעה:"נגזרת הינה קצב השינוי של פונקציה." (במקום שני המשפטים הראשונים). טוקיוני 22:11, 30 בנובמבר 2009 (IST)
בוודאי שקל לראות משיק כשמישהו מראה לך - כל הרעיון הוא שהערך יראה זאת לקורא, מן הסתם. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 11:14, 2 בדצמבר 2009 (IST)
יש עוד כמה בעיות במבוא: צריך לדבר שם יותר על השימוש בנגזרת לחקר פונקציה, להשאיר את ההגדרה של מה זה פונקציה גזירה, אבל להוריד את הפירוט המיותר שקודם לה. גם כן צריך להזכיר משוואות דפרנציאליות וחשיבותם במבוא. בקיצור אם אין התנגדויות אני אבצע את כל השינויים האלה. טוקיוני 22:18, 30 בנובמבר 2009 (IST)
על כך נאמר, קדימה לעבודה! :-) טרול רפאים - שיחה 23:12, 30 בנובמבר 2009 (IST)
מקווה שזה מוצא חן בעינכם עכשיו. טוקיוני 21:22, 1 בדצמבר 2009 (IST)
כרגע יש בערך בדיוק את הבעיה שעוזי מתריע מפניה - שימוש לא ברור במושגים כמו "שיפוע" ו"משיק" שנובע מהמשוואות, במקום שהמשוואות יקבלו מוטיבציה ממושג המשיק. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 07:49, 2 בדצמבר 2009 (IST)
בשביל לוודא: אתה מתייחס למבוא, או להמשך הערך? טוקיוני 12:08, 2 בדצמבר 2009 (IST)
גם וגם. בהתחלה סתם משתמשים במילים הללו ללא הסבר, ובהמשך גם מניחים שהקורא בקיא בגאומטריה אנליטית ומסוגל להשלים פערים בעצמו. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 13:04, 2 בדצמבר 2009 (IST)
לדעתי במבוא לא צריך להסביר מה זה משיק - כי מבוא צריך להיות קצר, ואני מקווה שההסבר שם אינטואיטיבי מספיק. את המשך הערך צריך לשפר. למה שלא תשכתב בעצמך את החלקים שלא נראים לך? טוקיוני 18:38, 2 בדצמבר 2009 (IST)
בשמחה, ברגע שיהיה ברור לי מה בעצם אתם רוצים שיהיה במבוא. כל עוד עוזי מתנגד לשימוש במשיק ואני חושב שכדאי להרחיב על המשיק אין טעם שאתחיל לערוך... גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 20:03, 2 בדצמבר 2009 (IST)
שיפרתי עוד קצת, ונראה לי שהמבוא בסדר עכשיו. בכל מקרה, המלחמה הגדולה קוראת לי! צ'או. טוקיוני 23:06, 2 בדצמבר 2009 (IST)
"הדוגמה הקלאסית לכך היא מושג בסיסי שנקרא 'נגזרת'. בספרי הלימוד מתייחסים אליו התייחסות טכנית, כאל שיפוע של גרף. כל סטודנט בטכניון יאמר לך שזאת ההגדרה של נגזרת. זאת לא הבנה, אלא אי הבנה של המושג הזה. ההגדרה הנכונה של נגזרת היא 'קצב שינוי', ולא 'שיפוע של גרף'" (רון אהרוני, כאן). עוזי ו. 15:29, 4 במאי 2011 (IDT)

נגזרת[עריכת קוד מקור]

בוודאי ובוודאי שיש הצדקה לשינוי. נגזרת של (arctan(x היא מקרה פרטי של ((arctan(f(x ועל-כן יש להעדיף את המקרה הכללי. למען האמת יש צורך להעביר את כל המקרים הפרטיים לצורה הכללית. אנא, החזר את הערך למצבו המשופר ובמקום לחשוב על תשובה ניצחת, חשוב על הצורה הכללית של שאר המקרים. אני אשמח לעזור.Ofir michael - שיחה 11:02, 10 ביולי 2011 (IDT)

מה שאתה מציע זה בבחינת "תפסת מרובה לא תפסת". בערך מובאים מקרים בסיסיים חשובים במיוחד. וריאציות שלהם ניתן להסיק בקלות בעזרת כללי הגזירה כגון כלל השרשרת. מי שאינו מורגל בחשיבה מוכללת יתקשה להבין את הדוגמה שלך. דניאל ב. תרמו ערך 11:05, 10 ביולי 2011 (IDT)
הדוגמאות הבסיסיות הללו חשובות מאוד. אני מסכים. אך אותם האנשים שיתקשו בחשיבה מוכללת, מלכתכילה לא יחפשו את הצורה הנכונה לנגזרת של פונקציות טריגונומטריות הופכיות. אני סבור שהמקרה שתמיד עובד חשוב יותר מהמקרה שקל יותר להבין אותו. מלבד זאת, זוהי טבלה מיידית של נגזרות, לכן עניין ההבנה אינו משחק כאן תפקיד אלא עניין ההצבה. אינני יכול להסיק בקלות כיצד יש להשתמש בדוגמה המובאת בשביל לחשב את הנגזרת במקרה של arctan((a*z)^n)/x). לו היה מובא ערך הנגזרת לדוגמא, בשפה אינטיפיסמלית גרידא שהייתה מובנת לפרופסורים למתמטיקה בלבד, הצדק היה עמך. אולי צריך בורר בנושא?Ofir michael - שיחה 17:20, 10 ביולי 2011 (IDT)
לפי הטענה שלך הינו צריכים להביא בערך נגזרת הגדרה פורמלית וחסל. הרי זה המקרה הכללי ביותר. מי שקל לו לראות את הצורה המוכללת, גם קל לו להסיק אותה בשנייה עם כלל השרשרת, כך שלא ברור מה היתרון. תפתח כל ספר לימוד מתמטי, מקובל להביא נגזרות של פונקציות אלמנטריות בסיסיות מהן ניתן להסיק באלגוריתם פשוט כל נגזרת אלמנטרית אחרת. בכל מקרה, השינוי שעשית בכלל היה שגוי מתמטית. דניאל ב. תרמו ערך 18:23, 10 ביולי 2011 (IDT)
מסכים עם דניאל. בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 18:46, 10 ביולי 2011 (IDT)
תודה לדניאל שייצגני נאמנה. דוד שי - שיחה 23:30, 11 ביולי 2011 (IDT)

תיקון הקישור בקישורים החיצוניים[עריכת קוד מקור]

הקישור לדוידסון אונליין לקה בכפליים, ראשית הוא מביא אתכם רק אל שער הלמידה המתוקשבת, לא אל הנושא הספציפי של הערך דידן. הבעיה השניה נמצאת במגרש שלהם: שם מופיע קישור אל מקור היישומון, אבל הקישור הזה ג"כ "גזור לא נכון" (נגזרת שניה...), הוא מוביל ליישומון אחר (הערתי שם).

התיקון האופטימלי שהיה נראה לי (וכך עשיתי): השארתי את הקישור לדוידסון, הוא נמצא במילה "הסברים", והוספתי את הקישור למקור, במילה "יישומון". הקישור לדוידסון נחוץ אף הוא בגלל קובץ ההסברים. כאמור עדיין יש לבצע חיפוש באתר כדי להגיע למידע הספציפי.

הייתי יכול אולי לעשות משהו מועיל יותר: לקשר אל המקום הספציפי בדוידסון במקום הקישור הנוכחי. בינתיים לא עשיתי כך. פשוט נגזר לי הזמן. רצוני - שיחה 15:12, 12 בינואר 2012 (IST)

נגזרת של פונקציה מרוכבת[עריכת קוד מקור]

בקשר לנגזרת של פונק' עם משתנה מורכב למדנו באוניברסיטה שניתן לכתוב את הנגזרת האמיתית (לא החלקית) של הפונקציה כך אבל אני מתקשה למצוא לזה מקורות נוספים. מישהו יכול לאמת את זה? אם כן אני מאמין שזה שווה הוספה.

Zatulovs - שיחה 21:20, 16 במרץ 2012 (IST)

זה נובע ממשוואות קושי-רימן. ראה פירוט בערך. בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 21:26, 16 במרץ 2012 (IST)

משוב מ-21 בינואר 2014[עריכת קוד מקור]

לפי דעתי יש טעות בנגזרת של arctan זה + ולא - (ה-זה של cotan( 62.219.99.154 15:19, 21 בינואר 2014 (IST)

משוב מ-15 בפברואר 2014[עריכת קוד מקור]

הערך לא תקין.. יש חלק שבו כתוב "עיבוד הנוסחא נכשל". 84.228.147.25 17:54, 15 בפברואר 2014 (IST)

זה מוזר. עברתי על הערך ולא ראיתי בעיה כזו. האם תוכל לציין את המיקום המדויק של ההודעה? דוד שי - שיחה 18:49, 15 בפברואר 2014 (IST)

דיווח על טעות[עריכת קוד מקור]

פרטי הדיווח[עריכת קוד מקור]

הנגזרת של קוסינוס היפרבולי זה מינוס סינוס היפרבולי ולא כפי שמצויין... דווח על ידי: ורד 79.180.174.238 22:29, 29 במאי 2014 (IDT)

הנגזרת של קוסינוס היפרבולי שווה לסינוס היפרבולי, כפי שכתוב בערך. דוד שי - שיחה 05:10, 30 במאי 2014 (IDT)


כל הכבוד[עריכת קוד מקור]

מעולה! 132.65.125.106 08:49, 25 בפברואר 2016 (IST)