תכונת החיתוך הסופי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

אוסף קבוצות מקיים את תכונת החיתוך הסופי אם לכל תת-אוסף סופי שלו חיתוך לא ריק.

התכונה מתקיימת באופן טריוויאלי כאשר חיתוך כל הקבוצות באוסף אינו ריק, אבל מצב זה אינו הכרחי. למשל, אוסף הקטעים \ \lbrace\left( 0,\frac{1}{n}\right) |n\isin\mathbb{N}\rbrace מקיים את תכונת החיתוך הסופי, בעוד שחיתוך כל הקטעים הוא ריק.

הגדרת קומפקטיות על ידי תכונת החיתוך הסופי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תכונת החיתוך הסופי משמשת להגדרה חלופית לקומפקטיות: מרחב טופולוגי הוא קומפקטי אם ורק אם לכל אוסף של קבוצות סגורות המקיים את תכונת החיתוך הסופי, חיתוך לא ריק.

הוכחת שקילות ההגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי \ X מרחב טופולוגי. נניח ש-\ X קומפקטי לפי ההגדרה הרגילה ונראה שהוא קומפקטי לפי ההגדרה על ידי תכונת החיתוך הסופי: יהי \{F_i\}_{i\in I} אוסף תת-קבוצות סגורות של \ X המקיים את תכונת החיתוך הסופי, ונניח על דרך השלילה שהחיתוך \bigcap_{i\in I} F_i ריק. מהנחה זו נובע שאוסף המשלימים \{F_i^c\}_{i\in I} מהווה כיסוי פתוח של \ X. מההנחה ש-\ X קומפקטי לפי ההגדרה הרגילה נובע שיש לאוסף המשלימים תת-כיסוי סופי \{F_{i_j}^c\}_{j=1}^n. לפיכך לתת אוסף הסופי \{F_{i_j}\}_{j=1}^n חיתוך ריק, בסתירה לתכונת החיתוך הסופי. נובע מכאן שהחיתוך \bigcap_{i\in I} F_i אינו ריק, כלומר \ X קומפקטי לפי ההגדרה על ידי תכונת החיתוך הסופי.

בכיוון ההפוך: נניח ש-\ X קומפקטי לפי ההגדרה על ידי תכונת החיתוך הסופי ונראה שהוא קומפקטי לפי ההגדרה הרגילה: יהי \{U_i\}_{i\in I} כיסוי פתוח של \ X, ונניח על דרך השלילה שאין לו שום תת-כיסוי סופי. מהנחה זו נובע שאוסף המשלימים \{U_i^c\}_{i\in I} הוא אוסף תת-קבוצות סגורות של \ X המקיים את תכונת החיתוך הסופי. מההנחה ש-\ X קומפקטי לפי ההגדרה על ידי תכונת החיתוך הסופי נובע שהחיתוך \bigcap_{i\in I} U_i^c אינו ריק, כלומר \{U_i\}_{i\in I} אינו כיסוי, וזאת סתירה. נובע מכאן של-\{U_i\}_{i\in I} יש תת-כיסוי סופי, כלומר \ X קומפקטי לפי ההגדרה הרגילה.

מש"ל