בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.
|
חוק האפס-אחד של קולמוגורוב הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות שהוכיח המתמטיקאי אנדריי קולמוגורוב.[1] המשפט מתאר מאורעות המכונים "מאורעות זנב", שהסתברותם יכולה להיות 0 או 1 בלבד.
באופן לא לגמרי פורמלי, "מאורע זנב" הוא מאורע שניתן לתיאור על ידי אוסף בן-מנייה של משתנים מקריים בלתי-תלויים, מבלי שהוא תלוי באף קבוצה סופית של משתנים מקריים מתוך האוסף. כל מאורע כזה, קובע חוק האפס-אחד, הוא בהכרח קורה או בהכרח לא קורה בהסתברות 1.
מאורעות זנב מתוארים בדרך-כלל כמאורעות גבוליים. כך למשל, באופן לחלוטין לא פורמלי, מאורע מהסוג של "הסכום האינסופי של סדרת משתנים מקריים מסוימת - מתכנס למספר סופי" הוא מאורע שאינו תלוי כמובן באף קבוצה סופית מתוך סדרת המשתנים המקריים, ולכן הוא מאורע זנב. דוגמה פורמלית למאורע זנב כזה מובאת בהמשך.
נוסח ראשון: יהי
מרחב הסתברות, ותהי
קבוצה בת-מנייה של משתנים מקריים בלתי-תלויים.[2]
נגדיר "מאורע זנב"
להיות מאורע שהסתברותו אינה תלויה באף קבוצה סופית מתוך
.[3]
חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע זנב
, מתקיים
או
.
נוסח שני: יהי
מרחב הסתברות, ותהי
קבוצה בת-מנייה של סיגמא אלגבראות שהן כולן מוכלות ב-
ובלתי-תלויות.[4]
עבור
, נגדיר
, ונתבונן בסיגמא-אלגברת הזנב,
.[5] מאורעות
מכונים "מאורעות זנב".
חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע
מתקיים
או
.
הנוסח הראשון אינטואיטיבי יותר, והוא מתקבל כמקרה פרטי של הנוסח השני, על ידי לקיחת
, כלומר
היא הסיגמא-אלגברה המינימלית שביחס אליה
מדיד.
המשפט נובע באופן מיידי מחוק האפס-אחד של לוי. עם זאת נציג כאן הוכחה ישירה שלו.
למה: תהי
אלגברה של קבוצות על
. תהי
.
אזי לכל
, לכל
קיימת
, כך שמתקיים
.
הוכחה בקצרה: ניתן להראות שמשפחת כל הקבוצות המקיימות את התכונה שבלמה מהווה סיגמא-אלגברה, ומשפחה זו בבירור מכילה את
, ולכן היא מכילה את
.
נפנה כעת להוכחת חוק האפס-אחד.
עבור
נגדיר
, ונגדיר
. נשים לב כי
היא איחוד של סדרה עולה של אלגבראות, ולכן היא אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי מתקיים
.
בהינתן מאורע
, מהלמה נובע כי לכל
יש מאורע
שעבורו מתקיים
, כלומר
.
יהי
שעבורו
. נשים לב כי
, ולכן
בלתי-תלויות, ונקבל בסיכום כי
.
אבל
שרירותי, ולכן נובע כי
, כלומר
או
.
נתבונן במרחב
, עם הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי הצילינדרים, כלומר על ידי קבוצות מהצורה
(כאשר
הוא הקואורדינטה ה-
של
), עבור
כלשהו.
נגדיר מידה על מרחב זה באמצעות
לכל
ולכל
. ממשפט ההרחבה של קרתאודורי נובע כי הגדרת המידה על הקבוצות היוצרות מתרחבת להגדרתה על כל הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידיהן.
עבור
נגדיר
, ובהתאם נגדיר משתנים-מקריים
.
אזי ניתן להראות כי המאורעות הבאים הם מאורעות זנב:
![{\displaystyle \left\{\mathbf {x} \in X\mid \sum _{i=1}^{\infty }X_{i}\left(\mathbf {x} \right)<\infty \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3da1c06304c87ff3db91a0c815cee8421c81151)
![{\displaystyle \left\{\mathbf {x} \in X\mid \lim _{i\to \infty }X_{i}\left(\mathbf {x} \right){\mbox{exists}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59df0dab4603bfced309b2094953361610dfc19)
לאיזשהו ![{\displaystyle c\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d47ef490c028656282fd8b18c44c4939bbfff750)
באופן כללי יותר, אם
אוסף של מאורעות כלשהם, אז המאורע
הוא מאורע זנב שלהם. לכן אם המאורעות בלתי-תלויים, אז ההסתברות למאורע זה היא 0 או 1.
הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי במקרה שבו המאורעות בלתי-תלויים וגם הטור
מתבדר לאינסוף, אז ההסתברות מתבררת להיות
.
- ^ המשפט פורסם בספרו של קולמגורוב, המופיע בפרק "לקריאה נוספת".
- ^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית
, לכל קבוצת מאורעות
, מתקיים כי
.
- ^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית
, עבור
, מתקיים כי
.
- ^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית
, לכל קבוצת מאורעות
, מתקיים כי
.
- ^ חיתוך של סיגמא-אלגבראות הוא סיגמא-אלגברה.