כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל (על שם המתמטיקאי גוטפריד וילהלם לייבניץ) הוא כלל שימושי בחשבון אינפיניטסימלי לגזירת ביטויים מהצורה
.
תהי
פונקציה רציפה במלבן
, וגזירה ברציפות לפי
(
קיימת ורציפה). נניח בנוסף שהפונקציות
גזירות בקטע
. אזי
![{\displaystyle {\frac {d}{dy}}\int \limits _{a(y)}^{b(y)}f(x,y)dx=\int \limits _{a(y)}^{b(y)}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx+f(b(y),y)b'(y)-f(a(y),y)a'(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d1f198a298cafeb98719d2f865769b4f1faab2)
מקרה פרטי ונפוץ של הכלל הוא כאשר הפונקציות
קבועות, כלומר
. אז נקבל כי
![{\displaystyle {\frac {d}{dy}}\int \limits _{a}^{b}f(x,y)dx=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/333b3d5baa5ad0e6434886f5220c86cb048f7913)
תהי
רציפה. נגדיר
![{\displaystyle G(y)=\int \limits _{a}^{b}g(x,y)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9674a7a0a127df2f70e0a5d4cd0207ca93c6024f)
ונטען שהיא רציפה. יהי
. כיוון ש-
רציפה בתחום קומפקטי (מלבן) היא רציפה במידה שווה שם. מכאן שקיים
כך שאם
אז
.
יהיו
המקיימים
. אבל
ולכן
![{\displaystyle |G(y_{1})-G(y_{2})|=\left|\int \limits _{a}^{b}g(x,y_{1})dx-\int \limits _{a}^{b}g(x,y_{2})dx\right|=\left|\int \limits _{a}^{b}{\bigl (}g(x,y_{1})-g(x,y_{2}){\bigr )}dx\right|\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}g(x,y_{1})-g(x,y_{2}){\bigr |}dx<\int \limits _{a}^{b}\varepsilon \,dx=\varepsilon (b-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7df2148ce44df3033903124428ea81b82648e95c)
מכאן ש-
אכן רציפה (ולמעשה אפילו במידה שווה).
בפרט אם נבחר
היא רציפה מההנחה כי
רציפה. כעת, נביט בהפרש:
![{\displaystyle \Delta G=G(x,y+\Delta y)-G(x,y)=\int \limits _{a}^{b}f(x,y+\Delta y)dx-\int \limits _{a}^{b}f(x,y)dx=\int \limits _{a}^{b}{\bigl (}f(x,y+\Delta y)-f(x,y){\bigr )}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd266cd8ca3ff988262a1075d05eb04d1be807de)
כיוון ש-
רציפה וגזירה לפי
, נוכל להיעזר במשפט לגראנז' ולקבל שקיימת
עבורה
(זאת כי קיבענו את
). לכן:
![{\displaystyle {\frac {\Delta G}{\Delta y}}=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y+\theta \Delta y)dx=G(y+\theta \Delta y)\,\xrightarrow {\Delta y\to 0} \,G(y)=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c37617fb0c000a2b4db57a82f3c53f60fc407d4)
כי
רציפה. כלומר הראנו כי
.
אנו רוצים לחשב את נגזרת הפונקציה
.
לשם כך נגדיר פונקציה חדשה
ונבחין כי
.
מהמשפט היסודי הנגזרות החלקיות של
לפי
בהתאמה הן
![{\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}(s,t,y)=f(t,y),\quad {\frac {\partial \phi }{\partial s}}(s,t,y)=-f(s,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/286c52f069d15d873da9a8deebf05e45951600dd)
ואלה רציפות מההנחה כי
רציפה. בנוסף, מהמקרה הפרטי של המשפט, הנגזרת החלקית של
לפי
היא
![{\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial y}}(s,t,y)=\int \limits _{s}^{t}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0699a829abfae7fa38c68c034e60b9dc96e4a35)
וזו פונקציה רציפה מההנחה כי
רציפה. מכיוון שכל הנגזרות החלקיות של
קיימות ורציפות, נסיק שהיא דיפרנציאבילית. לכן גם
דיפרנציאבילית, ומכלל השרשרת מתקיים
![{\displaystyle {\begin{aligned}F'(y)&={\frac {\partial \phi }{\partial s}}(a(y),b(y),y)\cdot a'(y)+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}(a(y),b(y),y)\cdot b'(y)+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}(a(y),b(y),t)\\&=-f(a(y),y)a'(y)+f(b(y),y)b'(y)+\int \limits _{a(y)}^{b(y)}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7925caa9a7cbbab61fc1677a32b313e46ab246f)
כנדרש.
נחשב את הנגזרת הבאה (
):
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int \limits _{x}^{x^{2}}{\frac {\cos(t)}{t}}dt={\frac {\cos(x^{2})}{x^{2}}}\cdot {\frac {d}{dx}}(x^{2})-{\frac {\cos(x)}{x}}\cdot {\frac {d}{dx}}(x)={\frac {\cos(x^{2})}{x^{2}}}\cdot 2x-{\frac {\cos(x)}{x}}\cdot 1={\frac {2\cos(x^{2})-\cos(x)}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a5eae89500579f6842c046d00d66fca651f326b)
נחשב את האינטגרל
.
לשם כך נסמן
עבור
והאינטגרל בו אנו מתעניינים הוא
. נגזור ונקבל
![{\displaystyle f'(\alpha )={\frac {d}{d\alpha }}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln(x)}}dx=\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{\ln(x)}}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}(e^{\alpha \ln(x)}-1)dx=\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{\ln(x)}}\ln(x)\cdot e^{\alpha \ln(x)}dx=\int \limits _{0}^{1}x^{\alpha }dx={\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}{\Bigg |}_{0}^{1}={\frac {1}{\alpha +1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94ea70b90562e3b7df4dbf2fa9f66a9b6c2fc08)
מכאן
.
נבחין כי
. אזי
, כלומר
ולכן
.