משפט וילסון – הבדלי גרסאות
מ ←ראו גם |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
'''משפט וילסון''' הוא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] ב[[תורת המספרים|תורת המספרים]], הקובע שאם p [[מספר ראשוני]], אז p מחלק את <math>\ (p-1)!+1</math> (ראו [[עצרת]] למשמעות הסימון "!"). המשפט נקרא על-שם [[ג'ון וילסון]], למרות ש[[ז'וזף לואי לגראנז'|לגראנז']] היה הראשון [[הוכחה|להוכיח]] את המשפט, בשנת [[1773]]. |
'''משפט וילסון''' הוא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] ב[[תורת המספרים|תורת המספרים]], הקובע שאם p [[מספר ראשוני]], אז p מחלק את <math>\ (p-1)!+1</math> (ראו [[עצרת]] למשמעות הסימון "!"). המשפט נקרא על-שם [[ג'ון וילסון]], למרות ש[[ז'וזף לואי לגראנז'|לגראנז']] היה הראשון [[הוכחה|להוכיח]] את המשפט, בשנת [[1773]]. |
||
הכיוון ההפוך למשפט נכון גם הוא, משום |
הכיוון ההפוך למשפט נכון גם הוא, משום שפרט למקרה p=4, אם p אינו ראשוני אז הוא מחלק את <math>\ (p-1)!</math>. |
||
== היסטוריה == |
== היסטוריה == |
גרסה מ־21:01, 6 באוגוסט 2011
משפט וילסון הוא משפט בתורת המספרים, הקובע שאם p מספר ראשוני, אז p מחלק את (ראו עצרת למשמעות הסימון "!"). המשפט נקרא על-שם ג'ון וילסון, למרות שלגראנז' היה הראשון להוכיח את המשפט, בשנת 1773.
הכיוון ההפוך למשפט נכון גם הוא, משום שפרט למקרה p=4, אם p אינו ראשוני אז הוא מחלק את .
היסטוריה
הראשון שגילה את המשפט היה ככל הנראה המתמטיקאי ההודי Bhāskara I, מאוחר יותר המשפט הוסבר על ידי המדען הערבי איבן אל-היית'ם שחי בתקופת ימי הביניים, בערך בשנת 1000 לספירה. המשפט קרוי על שמו של וילסון, מתמטיקאי אנגלי וסטודנט של אדוארד וארינג, שהזכיר את המשפט במאה ה-18. וארינג הכריז על המשפט בשנת 1770 למרות שגם הוא וגם וילסון לא יכלו להוכיח אותו, ולגראנז', ב-1773, היה הראשון שסיפק לו הוכחה. ישנן ראיות שלייבניץ היה מודע לכך כתשעים שנה קודם לכן, אך מעולם לא פרסם זאת.
הוכחה
נניח ש- p ראשוני. לכל קיים b יחיד באותו טווח, המקיים (זהו ההפכי של a בחבורת אוילר ). אם a הפוך לעצמו אז , ולכן המספרים היחידים ההפוכים לעצמם הם 1 ו- p-1. מכאן שבמכפלה , כל המספרים פרט ל- 1 ו- p-1 מסודרים בזוגות שמכפלתם 1, ולכן המכפלה כולה שקולה מודולו p ל-.
אותה הוכחה מתאימה לתוצאה כללית יותר: מכפלת כל האיברים בחבורה אבלית סופית שווה למכפלת האיברים מסדר 2 בחבורה.
יישומים
אם p ראשוני אי-זוגי, אז , ולפי משפט וילסון . לכן, אם , הערך מהווה שורש ריבועי של 1-. (מאידך, אם אז 1- אינו שארית ריבועית).