פונקציית התפלגות – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־16:57, 1 במרץ 2012

בתורת ההסתברות, פונקציית הצטברות (Cumulative distribution function, בראשי תיבות CDF) של משתנה מקרי היא פונקציה X שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה $\ X\leq a$ , לכל a ממשי.

תכונות מופשטות והקשר למשתנים מקריים

אם X משתנה מקרי, הפונקציה $\ F_{X}(a)=\operatorname {Pr} (X\leq a)$ מקיימת בהכרח ארבע תכונות:

הגבול $\ \lim _{a\rightarrow -\infty }F_{X}(a)$ שווה ל-0.
הגבול $\ \lim _{a\rightarrow \infty }F_{X}(a)$ שווה ל-1.
הפונקציה מונוטונית עולה (במובן החלש), כלומר $\ F_{X}(a)\leq F_{X}(b)$ לכל $\ a\leq b$ .
הפונקציה רציפה מימין.

ולהיפך: אם F היא פונקציה המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת לאלגברת בורל על הממשיים. עם זאת, מכיוון שהקטעים יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות $\ a<X<b$ . ואכן, אם דורשים ש- $\ \operatorname {Pr} (X\leq a)=F(a)$ , נובע שהגבול משמאל $\ \lim _{x\rightarrow b^{-}}F(b)$ שווה להסתברות $\ \operatorname {Pr} (X<b)$ . מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה $\ a<X<b$ , $\ a<X\leq b$ , $\ a\leq X<b$ ו- $\ a<X<b$ .

בפרט נובע ש- $\ P(X=b)=F_{X}(b)-\lim _{x\rightarrow b^{-}}F_{X}(x)$ , כך שהסיכוי למאורעות $\ X=b$ הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה. אם הפונקציה גזירה, אפשר לתאר אותה כאינטגרל של פונקציית צפיפות f:

F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt.

@@ שורה 14: / שורה 14: @@
 ו- <math>\ a < X < b</math>.
-בפרט נובע ש-<math>\ P(X=b) = F_X(b) - \im_{x\rightarrow b^{-}}F_X(x)</math>, כך שהסיכוי למאורעות <math>\ X=b</math> הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה. אם הפונקציה [[פונקציה גזירה|גזירה]], אפשר לתאר אותה כ[[אינטגרל]] של [[פונקציית צפיפות]] f:
+בפרט נובע ש-<math>\ P(X=b) = F_X(b) - \lim_{x\rightarrow b^{-}}F_X(x)</math>, כך שהסיכוי למאורעות <math>\ X=b</math> הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה. אם הפונקציה [[פונקציה גזירה|גזירה]], אפשר לתאר אותה כ[[אינטגרל]] של [[פונקציית צפיפות]] f:
 :<math>F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt.</math>