מכפלה חצי ישרה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־14:22, 2 ביוני 2020

מכפלה חצי ישרה של חבורות היא פעולה היוצרת משתי חבורות $H$ ו- $K$ חבורה חדשה $G=H\rtimes K$ .

הגדרה

יהיו $H$ ו- $K$ חבורות. נניח ש- $K$ פועלת על $H$ באמצעות אוטומורפיזם, כלומר: קיים הומומורפיזם $\rho :K\to \mathrm {Aut} (H)$ המתאים לכל איבר ב- $K$ אוטומורפיזם על $H$ . לשם קיצור נסמן $(\rho (k))(h)={}^{k}h$ .

נגדיר פעולה על הקבוצה $G=H\times K=\left\{(h,k)\ |\ h\in H,k\in K\right\}$ באופן הבא:

(h_{1},k_{1})\cdot (h_{2},k_{2}):=(h_{1}\cdot {}^{k_{1}}h_{2},k_{1}k_{2})

.

זו חבורה מסדר $|G|=|H|\cdot |K|$ (שכן יש יחידה $1_{G}=(1_{H},1_{K})$ וכל איבר הפיך $(h,k)^{-1}=({}^{k^{-1}}h^{-1},k^{-1})$ ) שנסמנה $G=H\rtimes K$ .

תכונות

אם מזהים $H\cong \{(h,1)|h\in H\}$ ו- $K\cong \{(1,k)|k\in K$ אזי $H\cap K=1$ ו- $H$ תת-חבורה נורמלית של $G$ .

קישורים חיצוניים

מכפלה חצי ישרה, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-'''מכפלה חצי ישרה''' של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]] היא פעולה היוצרת משתי חבורות H ו-K חבורה חדשה <math>G = H \rtimes K</math>.
+'''מכפלה חצי ישרה''' של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]] היא פעולה היוצרת משתי חבורות <math>H</math> ו-<math>K</math> חבורה חדשה <math>G = H \rtimes K</math>.
 == הגדרה ==
-יהיו H ו-K [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]]. נניח ש-K [[פעולת חבורה|פועלת]] על H באמצעות [[אוטומורפיזם]], כלומר: קיים [[הומומורפיזם]] <math>\rho : K \to \mathrm{Aut}(H)</math> המתאים לכל איבר ב-K אוטומורפיזם על H. לשם קיצור נסמן <math>(\rho(k))(h) = {}^k h</math>.
+יהיו <math>H</math> ו-<math>K</math> [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]]. נניח ש-<math>K</math> [[פעולת חבורה|פועלת]] על <math>H</math> באמצעות [[אוטומורפיזם]], כלומר: קיים [[הומומורפיזם]] <math>\rho : K \to \mathrm{Aut}(H)</math> המתאים לכל איבר ב-<math>K</math> אוטומורפיזם על <math>H</math>. לשם קיצור נסמן <math>(\rho(k))(h) = {}^k h</math>.
 נגדיר פעולה על הקבוצה <math>G = H \times K = \left\{ (h,k) \ | \ h \in H , k \in K \right\}</math> באופן הבא:
@@ שורה 11: / שורה 11: @@
 == תכונות ==
-* אם מזהים <math>H \cong \{ (h,1) | h \in H \}</math> ו-<math>K \cong \{ (1,k) | k \in K</math> אזי <math>H \cap K = 1</math> ו-H [[תת-חבורה נורמלית]] של G.
+* אם מזהים <math>H \cong \{ (h,1) | h \in H \}</math> ו-<math>K \cong \{ (1,k) | k \in K</math> אזי <math>H \cap K = 1</math> ו-<math>H</math> [[תת-חבורה נורמלית]] של <math>G</math>.
 ==קישורים חיצוניים==