חבורת סימטריות – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־01:48, 6 במאי 2007

במתמטיקה ויישומיה, חבורת סימטריות של אובייקט (מוחשי או מופשט) היא האוסף של כל הדרכים לשנות את האובייקט, תוך שמירה על תכונותיו היסודיות. דרכים אלו, העשויות לכלול למשל סיבובים השומרים את האובייקט במקומו, נקראות "פעולות". ההרכבה של פעולות, דהיינו, ביצוען בזו אחר זו, הופך את האוסף לחבורה, שתכונותיה כרוכות באלו של האובייקט שבו מדובר.

התכולה המדוייקת של חבורת הסימטריות תלויה בשלושה גורמים: התכונות של האובייקט שאותן צריכות הפעולות לשמור, המגבלות הנוספות המוטלות על פעולות אלה, והקריטריונים שלפיהם מחשיבים שתי פעולות כשונות זו מזו. בחישוב הסימטריות של אובייקט גאומטרי, מקובל לדרוש שהאובייקט יחזור בסוף הפעולה למקומו, שהפעולות תהיינה ניתנות לביצוע במרחב שבו האובייקט מופיע, ופעולות שונות צריכות להבדל זו מזו במיקומן הסופי של הנקודות המרכיבות את האובייקט. בלשון מתמטית, פירושו של התנאי השני הוא שהפעולות תהיינה מושרות על-ידי אוטומורפיזמים של המרחב עצמו, או שתהיינה ניתנות להרחבה לאוטומורפיזם של המרחב.

חבורת הסימטריות של מערכת מתמטית נקראת חבורת אוטומורפיזמים. מחוץ לתחומי המתמטיקה, לחבורות של סימטריות יש חשיבות רבה בעיקר בפיזיקה תאורטית, בכימיה ובקריסטלוגרפיה.

דוגמאות

אחד האובייקטים השכיחים והקלים ביותר לתיאור הוא שורה, שמסודרים בה n עצמים שונים זה מזה. חבורת הסימטריות כוללת במקרה זה את כל הדרכים לסדר את העצמים מחדש, תוך שמירה על עצם קיומה של השורה המסודרת. אופן הזזת העצמים במהלך הסידור אינו נלקח בחשבון, אלא רק הסידור הסופי של העצמים, וכך יש בדיוק n עצרת פעולות שונות. חבורת הסימטריות הזו נקראת החבורה הסימטרית.

חבורת הסימטריות של מצולע משוכלל תלויה בשאלה האם ההיפוך הוא פעולה מותרת. אם כן, ישנן 2n דרכים להזיז את קודקודי המצולע באופן שהמצולע יחזור למקומו (לרבות הפעולה הטריוויאלית, שבה המצולע אינו זז כלל); חבורת הסימטריות במקרה זה היא החבורה הדיהדרלית. אם ההיפוך אינו נחשב לפעולה חוקית, נותרים רק n הסיבובים, המרכיבים יחד חבורה ציקלית מסדר n.

חבורת הסימטריות של קוביה כוללת 24 אברים, מכיוון שבכל פעולה יש לקבוע לאיזה משמונת הקודקודים יעבור קודקוד נתון, ואחר-כך לקבוע לאיזה משלושה השכנים של אותו קודקוד יעבור קודקוד סמוך לקודקוד הנתון. פעולות אלה ניתנות כולן למימוש כפעולות על המרחב האוקלידי התלת-ממדי. לעומת זאת, חבורת הסימטריות של הגרף המתאר את הקוביה (שהוא הגרף המופשט הכולל רק 8 קודקודים ו-12 צלעות מחברות) היא בת 48 אברים, משום שבמקרה זה מוסכם שגם פעולת השיקוף היא פעולה חוקית.

סימטריות של אובייקטים מרחביים

חבורת הסימטריות של אובייקט מרחבי סופי מוכרחה לשמור את נקודת מרכז הכובד שלו במקומו, ולכן היא מורכבת, בעיקרו של דבר, מסיבובים שונים של המרחב. לעומת זאת, חבורת הסימטריות של סריג אינסופי (המשמש מודל מקובל גם עבור עצמים סופיים, כגון גבישים) עשויה לכלול גם הזזות. במקרה כזה, אוסף הסימטריות השומרות על נקודה קבועה של האובייקט מהווה תת-חבורה של חבורת הסימטריות המלאה; כל תת-החבורות מסוג זה צמודות זו לזו, ומבחינת תורת החבורות אין דרך להבדיל ביניהן.

במקרים מסויימים משחקות אותו תפקיד גם החבורות של פעולות השומרות על נקודה שמחוץ לאובייקט. לדוגמא, חבורת הסימטריות G של ציר ישר אינסופי שעליו מסומנות נקודות במרווחים שווים, מורכבת מהזזות (תת-החבורה של ההזזות היא החבורה הציקלית האינסופית; נסמן את ההזזה ביחידה אחת ימינה באות $\ \sigma$ ), שיקוף $\ \tau$ סביב הנקודה 0, והרכבות של שיקוף והזזה. הסימטריות השומרות על הנקודה 0 הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף $\ \tau$ . הסימטריות השומרות על הנקודה 1 הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף $\ \sigma \tau \sigma ^{-1}$ . ואילו הסימטריות השומרות על הנקודה 1/2 (שאינה מסומנת על הציר) הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף $\ \sigma \tau =\tau \sigma ^{-1}$ . החבורה האחרונה אינה צמודה לשתי הראשונות בחבורת הסימטריות של הישר המסומן, אבל היא צמודה לה בחבורת הסימטריות של המרחב המכיל אותו (דהיינו, הישר שאינו מסומן).

@@ שורה 17: / שורה 17: @@
 חבורת הסימטריות של אובייקט מרחבי סופי מוכרחה לשמור את נקודת [[מרכז כובד|מרכז הכובד]] שלו במקומו, ולכן היא מורכבת, בעיקרו של דבר, מסיבובים שונים של המרחב. לעומת זאת, חבורת הסימטריות של [[סריג (גאומטריה)|סריג]] אינסופי (המשמש מודל מקובל גם עבור עצמים סופיים, כגון גבישים) עשויה לכלול גם הזזות. במקרה כזה, אוסף הסימטריות השומרות על נקודה קבועה של האובייקט מהווה תת-חבורה של חבורת הסימטריות המלאה; כל תת-החבורות מסוג זה צמודות זו לזו, ומבחינת תורת החבורות אין דרך להבדיל ביניהן.
-במקרים מסויימים משחקות אותו תפקיד גם החבורות של פעולות השומרות על נקודה שמחוץ לאובייקט. לדוגמא, חבורת הסימטריות G של ציר ישר אינסופי שעליו מסומנות נקודות במרווחים שווים, מורכבת מהזזות (תת-החבורה של ההזזות היא [[חבורה ציקלית|החבורה הציקלית האינסופית]]; נסמן את ההזזה ביחידה אחת ימינה באות <math>\ \sigma</math>), שיקוף <math>\ \tau</math> סביב הנקודה 0, והרכבות של שיקוף והזזה. הסימטריות השומרות על הנקודה 0 הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף <math>\ tau</math>. הסימטריות השומרות על הנקודה 1 הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף <math>\ \sigma\tau\sigma^{-1}</math>. ואילו הסימטריות השומרות על הנקודה 1/2 (שאינה מסומנת על הציר) הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף <math>\ \sigma\tau = \tau\sigma^{-1}</math>. החבורה האחרונה אינה צמודה לשתי הראשונות בחבורת הסימטריות של הישר המסומן, אבל היא צמודה לה בחבורת הסימטריות של המרחב המכיל אותו (דהיינו, הישר שאינו מסומן).
+במקרים מסויימים משחקות אותו תפקיד גם החבורות של פעולות השומרות על נקודה שמחוץ לאובייקט. לדוגמא, חבורת הסימטריות G של ציר ישר אינסופי שעליו מסומנות נקודות במרווחים שווים, מורכבת מהזזות (תת-החבורה של ההזזות היא [[חבורה ציקלית|החבורה הציקלית האינסופית]]; נסמן את ההזזה ביחידה אחת ימינה באות <math>\ \sigma</math>), שיקוף <math>\ \tau</math> סביב הנקודה 0, והרכבות של שיקוף והזזה. הסימטריות השומרות על הנקודה 0 הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף <math>\ \tau</math>. הסימטריות השומרות על הנקודה 1 הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף <math>\ \sigma\tau\sigma^{-1}</math>. ואילו הסימטריות השומרות על הנקודה 1/2 (שאינה מסומנת על הציר) הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף <math>\ \sigma\tau = \tau\sigma^{-1}</math>. החבורה האחרונה אינה צמודה לשתי הראשונות בחבורת הסימטריות של הישר המסומן, אבל היא צמודה לה בחבורת הסימטריות של המרחב המכיל אותו (דהיינו, הישר שאינו מסומן).
 == ראו גם ==