תחום ראשי

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה, תחום ראשי (או תחום אידאלים ראשיים) הוא תחום שלמות שכל האידאלים שלו הם ראשיים. בחוגים ראשיים יש התאמה הדוקה בין אידאלים לאיברים, ולכן קל יחסית לחשב בהם.

אידאל ראשי של חוג קומוטטיבי הוא אידאל מהצורה $\ Ra=\{xa:x\in R\}$.

דוגמאות

כל חוג אוקלידי הוא חוג ראשי, ולכן חוג המספרים השלמים $\mathbb {Z}$, חוג השלמים של גאוס $\mathbb {Z} [i]$, וכל חוג פולינומים במשתנה יחיד מעל שדה נתון, הם חוגים ראשיים. חוג השלמים של השדה הריבועי $\ \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$, כאשר D מספר שלם שלילי, הוא ראשי בתשעה מקרים: $\ D=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163$ (מאלה רק חמשת הראשונים הם אוקלידיים; $\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}]$, לדוגמה, ראשי ואינו אוקלידי).

חוג השלמים $\ \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ אינו ראשי; לדוגמה, האידאל $\ \langle 2,1+{\sqrt {-5}}\rangle$ אינו ראשי.

חוג הפולינומים ביותר ממשתנה אחד אינו חוג ראשי: האידאל $\ \langle x,y\rangle$ אינו ראשי כי אין פולינום המחלק את שני היוצרים שלו (והוא אינו שווה לכל החוג, כי הוא לא מכיל פולינומים ממעלה 0).

זיהוי של חוגים ראשיים

פונקציה $\ \delta :D\rightarrow \mathbb {N}$ היא "נורמת הסה-דדקינד" אם לכל a,b שונים מאפס כך ש- b אינו מחלק את a, קיים צירוף לינארי d שונה מאפס, עבורו $\ \delta (d)<\delta (b)$. בחוג אוקלידי פונקציית הדרגה מקיימת דרישות חזקות יותר. מתברר שתחום שלמות הוא ראשי אם ורק אם יש לו נורמת הסה-דדקינד.

תכונות של תחומים ראשיים

• כל חוג ראשי הוא תחום פריקות חד ערכית, ולכל שני אברים ניתן למצוא מחלק משותף מקסימלי (אם כי לרוב הוא לא יחיד).
• כל חוג ראשי הוא תחום דדקינד. בפרט, הוא נתרי, ובעל מימד קרול 1 (כלומר, כל אידאל ראשוני לא טריוויאלי הוא מקסימלי).
• תחום ראשי הוא חוג בזו נתרי.

אם $\ P$ אידאל ראשוני של תחום ראשי $\ R$, אז גם תחום השלמות $\ R/P$ הוא ראשי.

כל חוג מקומי סופי שבו כל האידאלים ראשיים הוא חוג מנה של חוג שלמים בשדה מקומי.