מרחב נורמי

מרחב נורמי הוא מרחב וקטורי שעליו מוגדרת נורמה. הנורמה היא מעין הכללה של מושג האורך או הגודל של וקטור.

מרחב נורמי שהוא מרחב שלם נקרא מרחב בנך.

מרחב מכפלה פנימית הוא בפרט מרחב נורמי, כאשר המכפלה פנימית משרה נורמה טבעית באופן הבא: $\ \|{\vec {V}}\|={\sqrt {\langle {\vec {v}},{\vec {v}}\rangle }}$ . מרחב נורמי כזה נקרא "מרחב אוקלידי (מוכלל)" כי נורמת מכפלה פנימית מהווה בעצם הכללה של האורך בגאומטריה אוקלידית.

במרחב נורמי ניתן להשרות באופן טבעי טופולוגיה מטרית על ידי בחירת המטריקה $\ d(x,y)=\|x-y\|$. שאותה ניתן לממש בעזרת הכדורים הפתוחים והסגורים.

מרחב וקטורי X נקרא מרחב בעל נורמה אם קיים פונקציונל ||.||:X->R המשיק לכל x השייך ל X.מספר ממשי הקרוי הנורמה של x כך שמקיים התכונות הבאות:

לכל $x,y\in X$ מתקיים:

• $0\leq \left\|x\right\|$

• $x={\vec {0}}\Leftrightarrow \left\|x\right\|=0$

• $\left\|\alpha x\right\|=\alpha \cdot \left\|x\right\|$

• $\left\|x+y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|$

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.