מטריקה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בטופולוגיה, מטריקה היא פונקציה המתאימה לכל זוג נקודות במרחב מספר אי-שלילי, ומקיימת כמה תנאים פשוטים. בזכות תנאים אלה, אפשר לראות במטריקה הכללה של מושג המרחק מהמרחב האוקלידי למרחב כלשהו.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא S קבוצה כלשהי. פונקציה d:S\times S \rarr \mathbb{R} תיקרא מטריקה כאשר היא מקיימת את שלוש התכונות הבאות עבור כל x,y,z\isin S:

הקבוצה S יחד עם הפונקציה d נקראת מרחב מטרי.

את קבוצת המספרים הממשיים נהוג לסמן באות R.

אם מחליפים את אי שוויון המשולש בדרישה החזקה יותר ש- d(x,z) \le \max\{d(x,y),d(y,z)\}, המטריקה נקראת 'מטריקה לא ארכימדית'. מטריקה כזו היא בעלת התכונה, שבמרחב שבו היא מתקיימת כל משולש הוא שווה-שוקיים (תכונה שאינה מתקיימת במטריקות ארכימידיות).

המטריקה כהכללה של מושג המרחק[עריכת קוד מקור | עריכה]

שלוש התכונות הנדרשות מהמטריקה הן הכללה של מושג המרחק המוכר לנו מהמרחב האוקלידי:

  • התכונה הראשונה דורשת כי המרחק בין כל שתי נקודות שונות הוא חיובי, וכי אם המרחק בין שתי נקודות הוא אפס, שתיהן הן אותה נקודה.
  • התכונה השנייה דורשת כי המרחק בין שתי נקודות אינו תלוי בשאלה איזו היא נקודת "ההתחלה" ואיזו נקודת "הסיום", כך שניתן לדבר על "המרחק בין הנקודות".
  • התכונה השלישית היא הכללה של אי שוויון המשולש, ואומרת כי המרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות הוא במסלול הישיר בין שתיהן, והליכה לנקודות ביניים יכולה רק להאריך את המסלול, לא לקצר אותו.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • המטריקה הדיסקרטית: אם x = y אז d(x,y) = 0, אחרת d(x,y) = 1.
  • המטריקה בגאומטריית נהגי המוניות: בהינתן מערכת צירים, ניתן לנוע רק במקביל לאחד מהם. בשפה מתמטית: d=|\Delta x|+| \Delta y|.
  • מטריקה על קבוצת כל המילים האפשריות בנות ארבע אותיות: המטריקה היא מספר הצעדים המזערי שיש לבצע כדי לעבור ממלה x למלה y, כשצעד מוגדר כהחלפה של אות אחת. מטריקה זו קרויה מרחק המינג.
  • מטריקה בין חיילים: מספר הצעדים המזערי שנחוץ כדי להעביר מסר מחייל x לחייל y, כשצעד מותר הוא העברת מסר מחייל למפקדו או ממפקד לחייל הנתון לפקודתו.

לעומת זאת, המרחק בין שתי נקודות במפה על-פי אורך הדרך שיש לנסוע כדי להגיע מאחת לשנייה אינו מטריקה, עקב קיומם של כבישים חד סיטריים, שגורמים למצבים שבהם d\left(x,y\right) \ne d(y,x).

שקילות מטריקות[עריכת קוד מקור | עריכה]

שתי מטריקות על אותה קבוצה ייקראו שקולות אם הן מגדירות את אותה טופולוגיה. ניתן להראות ששתי מטריקות הן שקולות אם ורק אם כל כדור פתוח סביב נקודה x ביחס למטריקה הראשונה, מכיל כדור פתוח סביב x ביחס למטריקה השנייה. מכיוון שהטופולוגיה של מרחב מטרי נקבעת על ידי התכנסות של סדרות, שתי מטריקות הן שקולות אם ורק אם כל סדרה מתכנסת ביחס לאחת מהן, מתכנסת גם ביחס לשנייה. עם זאת, המושג של סדרת קושי, התלוי במטריקה, אינו נשמר תחת שקילות (לדוגמה, המטריקה \ d(x,y)=|\frac{x}{1-x}-\frac{y}{1-y}| על הקטע \ (0,1) שקולה למטריקה הרגילה שם, אבל הסדרה \ \frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\dots, שאינה מתכנסת, היא סדרת קושי לפי המטריקה הרגילה, אבל לא לפי d).

כל שתי נורמות על המרחב  \mathbb{R}^n שקולות (כמטריקות), ולכן יש למרחב הזה טופולוגיה נורמית אחת ויחידה.

הטנזור המטרי[עריכת קוד מקור | עריכה]

בגאומטריה דיפרנציאלית ואנליזה על יריעות המונח "מטריקה" משמש כדי לציין את הטנזור המטרי המוגדר מעל יריעה חלקה M, זהו שדה טנזורי המתאים לכל נקודה במרחב טנזור. הטנזור הזה מייצג בעצם את המטריקה הלוקלית של מרחק אינפיניטסימלי בין שתי נקודת במרחק של הנקודה. כלומר, אלמנט האורך האיפיניטסימלי נתון על ידי

\ ds^2 (k) = \sum_{\mu} \sum_{\nu} g_{\mu \nu} (k) dx^\mu dx^\nu

כאשר \ \mu , \nu רצים על האינדקסים של וקטורי הבסיס בנקודה k.

כדי לקבל את המרחק בין שתי נקודת כלשהן, a ו b, יש לבצע אינטגרציה על אלמנט האורך האינפיניטסימלי. כלומר, אנו מגדירים מטריקה חדשה על ידי

\ d( a , b) = \inf \int_{a}^{b}{ ds } = \inf \int_{a}^{b}{ \sqrt{\sum_{\mu} \sum_{\nu} g_{\mu \nu} (k) dx^\mu (k) dx^\nu (k)} } = \inf \int_{a}^{b}{ \sqrt{\sum_{\mu} \sum_{\nu} g_{\mu \nu} (k) \frac{dx^\mu}{dk} \frac{ dx^\nu }{dk}} dk}

כאשר k הוא פרמטר של עקומה גיאודזית \ \gamma : \mathbb{R} \to M המחברת בין a ל b ואת \ g_{ \mu \nu} (k) יש לפרש כטנזור המטרי בנקודה \ \gamma (k) והאינטגרציה מתבצעת כאינטגרל מסלולי לאורך עקומה זו.

בתורת היחסות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בתורת היחסות המרחב-זמן נקרא מרחב מינקובסקי, ובו המרחק בריבוע \ ds^2 הוא

\ ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2

כאשר \ dx,dy,dz הם המרחקים במרחב האוקלידי התלת-ממדי, \ dt הוא המרחק בציר הזמן ו-\ c היא מהירות האור. כפי שניתן לראות, המרחקים יכולים להיות גם אפס או שליליים. המרחב אינו מקיים את הדרישה הראשונה של המטריקה לעיל, ומרחיב את מושג המטריקה למטריקה מוכללת.

בתורת היחסות הכללית משתמשים במטריקת שוורצשילד לתיאור עקמומיות המרחב סביב כוכב כדורי מסיבי, בפרט חור שחור.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]