משפט לוסטרניק-שנירלמן

בטופולוגיה, משפט לוסטרניק-שנירלמן הוא משפט הקובע ששתי הטענות הבאות נכונות:

בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות סגורות יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.
בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות פתוחות יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.

המשפט שוער לראשונה במאמר של לזר לוסטרניק ולב שנירלמן מ-1930. המשפט שקול למשפט בורסוק-אולם שהוכח ב-1933.

למעשה נכון משפט כללי יותר שמכליל את שתי הגרסאות המקוריות של המשפט:

בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות, שכל אחת מהן פתוחה או סגורה, יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.

הוכחה

מספיק להוכיח את המשפט ל- $S^{n}$ שהיא ספירת היחידה ה-n-ממדית (אוסף כל הנקודות ב- $\mathbb {R} ^{n+1}$ שמרחקן מהראשית הוא 1).

נוכיח כי המשפט שקול למשפט בורסוק-אולם הקובע שלכל פונקציה רציפה $f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ קיימת נקודה $x\in S^{n}$ כך ש- $f(x)=f(-x)$ .

המקרה הסגור מתוך בורסוק-אולם

במרחב מטרי, המרחק בין נקודה x לקבוצה A, $d(x,A)$ , מוגדר כאינפימום של אוסף המרחקים בין x לכל אחת מנקודות A. לפי הגדרת הסגור, אם $d(x,A)=0$ אז $x\in {\bar {A}}$ .

יהי $F_{1},\ldots ,F_{n+1}$ אוסף של n+1 קבוצות סגורות המכסות את $S^{n}$ . נגדיר פונקציה $f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ כך:

f(x)=(d(x,F_{1}),\ldots ,d(x,F_{n}))

$f$ בבירור רציפה ולכן לפי משפט בורסוק-אולם קיים $x^{*}\in S^{n}$ כך ש- $f(x^{*})=f(-x^{*})$ . בפרט אם קיים $1\leq i\leq n$ כך ש- $d(x^{*},F_{i})=0$ אז גם $d(-x^{*},F_{i})=0$ . אולם $F_{i}$ סגורה ושווה לסגור שלה, ולכן במקרה כזה $x^{*},-x^{*}$ הן זוג נקודות אנטיפודיות הנמצאות ב- $F_{i}$ .

נותר המקרה בו $d(x^{*},F_{i})=d(-x^{*},F_{i})\neq 0$ לכל $1\leq i\leq n$ . במקרה כזה $x^{*},-x^{*}$ לא נמצאות באף אחת מן הקבוצות $F_{1},\ldots ,F_{n}$ (כי מרחקן מכל אחת מהן חיובי) ולכן הן חייבות להימצא יחדיו ב- $F_{n+1}$ .

המקרה הפתוח מתוך המקרה הסגור

יהי $U_{1},\ldots ,U_{n+1}$ אוסף של n+1 קבוצות פתוחות המכסות את $S^{n}$ . לכל $1\leq i\leq n+1$ ולכל $x\in U_{i}$ נבחר סביבה פתוחה קטנה מספיק $V_{x}$ כך ש- $x\in V_{x}^{i}\subseteq {\bar {V_{x}^{i}}}\subseteq U_{i}$ . איחוד כל הסביבות $V_{x}^{i}$ לכל ה-x וה-i הוא כיסוי פתוח של $S^{n}$ . הספירה היא קבוצה קומפקטית ולכן יש לכיסוי תת-כיסוי סופי $V_{1},\ldots ,V_{m}$ . נאחד את כל הקבוצות ${\bar {V_{j}}}$ המוכלות באותה קבוצה $U_{i}$ . זהו איחוד סופי של קבוצות סגורות ולכן לכל i נקבל קבוצה סגורה $F_{i}\subseteq U_{i}$ . קיבלנו כיסוי $F_{1},\ldots ,F_{n+1}$ של הספירה, ולכן לפי המקרה הסגור קיימים $l$ ונקודה $x^{*}\in S^{n}$ כך ש- $x^{*},-x^{*}\in F_{l}\subseteq U_{l}$ כפי שרצינו להוכיח.

המקרה הכללי מתוך המקרה הפתוח

יהי $A_{1},\ldots ,A_{n+1}$ אוסף של n+1 קבוצות סגורות או פתוחות המכסות את $S^{n}$ . לכל $A_{i}$ סגורה נגדיר $U_{i}^{k}=\{x\in S^{n}\mid d(x,A_{i})<{\tfrac {1}{k}}\}$ . ולכל $A_{i}$ פתוחה נגדיר $U_{i}^{k}=A_{i}$ . לכל k, $U_{1}^{k},\ldots ,U_{n+1}^{k}$ כיסוי פתוח של $S^{n}$ , ולכן לפי הגרסה הפתוחה קיימים $l_{k}$ וזוג נקודות $x_{k},-x_{k}\in U_{l_{k}}^{k}$ . אם ל-k כלשהו $A_{l_{k}}$ פתוחה סיימנו, כי $x_{k},-x_{k}\in U_{l_{k}}^{k}=A_{l_{k}}$ . לכן נניח שלכל k $A_{l_{k}}$ סגורה. הסדרה $\{l_{k}\}$ היא סדרה אינסופית שמקבלת מספר סופי של ערכים (שלמים $1\leq l_{k}\leq n+1$ ) ולכן יש מספר $l$ שמופיע בה אינסוף פעמים. נסתכל על תת-סדרה מתכנסת של הסדרה $(x_{k})_{k}$ שאיבריה מקיימים $l_{k}=l$ . נסמן את גבולה $x^{*}$ . מתקיים $d(x^{*},A_{l})=\lim _{k\to \infty }d(x_{k},A_{l_{k}})=0$ . ולכן, מכיוון שהנחנו ש- $A_{l}$ סגורה, מתקיים $x^{*}\in A_{l}$ . מאותה סיבה מתקיים $-x^{*}\in A_{l}$ .

בורסוק-אולם מתוך המקרה הסגור

למה. ניתן לכסות את $S^{n-1}$ באמצעות n+1 קבוצות סגורות שלא מכילות אנטיפודים.

הוכחה. נמקם סימפלקס במרחב ה-n ממדי כך שהראשית נמצאת במרכז הסימפלקס. כעת נטיל את n+1 פאות הסימפלקס על הספירה $S^{n-1}$ באמצעות קרניים שיוצאות מהראשית. קל לראות שתמונת הפאות הן הקבוצות הסגורות הנדרשות.

הוכחת בורסוק-אולם. נניח בשלילה שקיימת פונקציה $f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ כך שלכל $x\in S^{n}$ מתקיים $f(x)\neq f(-x)$ . אזי הפונקציה $g:S^{n}\to S^{n-1}$ המוגדרת לפי $g(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{\|f(x)-f(-x)\|}}$ מוגדרת היטב (כי המכנה לא מתאפס) ורציפה. נשים לב כי לכל $x\in S^{n}$ מתקיים $g(x)=-g(-x)$ .

יהי $F_{1},\ldots ,F_{n+1}$ כיסוי של $S^{n-1}$ באמצעות קבוצות סגורות שלא מכילות אנטיפודים. $g^{-1}(F_{1})\ldots ,g^{-1}(F_{n+1})$ הוא כיסוי של $S^{n}$ באמצעות קבוצות סגורות, ולכן לפי משפט לוסטרניק-שנירלמן קיימים $x^{*},-x^{*}\in g^{-1}(F_{l})$ . אולם אז $g(x^{*})\in f^{-1}(F_{l})$ וגם $-g(x^{*})=g(-x^{*})\in f^{-1}(F_{l})$ בסתירה לטענה ש- $F_{l}$ אינה מכילה אנטיפודים.