פונקציית המלבן

פונקציית המלבן

פונקציית המלבן (ידועה גם כפולס של גל מרובע ובאנגלית rectangular, rectangle function, rect function או unit pulse) מוגדרת כדלהלן:

$\mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}$

ישנן הגדרות שונות של ערך הפונקציה בנקודות אי-הרציפות $\pm 1/2$ והן 0, 0.5, 1 או לא מוגדר.

אפשר לבטא את פונקציית המלבן באמצעות פונקציית הביסייד $\ u(t)$:

$\mathrm {rect} \left({\frac {t}{\tau }}\right)=u\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)-u\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)$

או לחלופין

$\mathrm {rect} (t)=u\left(t+{\frac {1}{2}}\right)\cdot u\left({\frac {1}{2}}-t\right)$

פונקציית המלבן מנורמלת מבחינת שטח:

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\,dt=1$

התמרת פורייה הרציפה של פונקציית המלבן היא

${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)$,

ובמונחי פונקציית sinc:

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\mathrm {sinc} (f)$

ניתן להגדיר את פונקציית המשולש כקונבולוציה של שתי פונקציות מלבן:

$\ \mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t)$

כאשר מסתכלים על פונקציית מלבן כהתפלגות הסתברות, הפונקציה האופיינית שלה היא

$\varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}}\,$

והפונקציה יוצרת מומנטים שלה היא

$M(k)={\frac {\mathrm {sinh} (k/2)}{k/2}}\,$

כאשר $\ \mathrm {sinh} (t)$ היא סינוס היפרבולי.

ראו גם

• התמרת פורייה
• גל מרובע
• פונקציית המשולש

קישורים חיצוניים

• פונקציית המלבן, באתר MathWorld (באנגלית)