נקודת אי רציפות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מתמטית, נקודת אי רציפות של פונקציה היא נקודה, שבה הפונקציה אינה רציפה. כלומר, הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה זו (הנקודה אינה נמצאת בתחום הגדרתה), או שהיא מוגדרת, אך ערכי הפונקציה בסביבתה של הנקודה לא מתקרבים אל ערכה בנקודה עצמה. נהוג לחלק את נקודות אי הרציפות לשלושה סוגים, על פי גבול הפונקציה בנקודת אי הרציפות.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ f פונקציה ותהא \ a נקודה. נאמר כי \ a היא נקודת אי רציפות של \ f אם \ \lim_{x\to a}f(x)\ne f(a) (ייתכן כי \ f(a) כלל לא מוגדר). ניתן לחלק את אי הרציפות לשלושה סוגים:

  1. אי רציפות סליקה: בנקודה \ a קיימת אי רציפות סליקה, אם הגבול \ \lim_{x\to a}f(x) קיים. אי רציפות כזו נקראת "סליקה", שכן אפשר "לתקן" את הפונקציה \ f על ידי הגדרת \ f(a)=\lim_{x\to a}f(x), וכך תתקבל פונקציה שרציפה בנקודה \ a.
  2. אי רציפות מהסוג הראשון ("קפיצה"): בנקודה \ a קיימת אי רציפות מהסוג הראשון, אם הגבול \ \lim_{x\to a}f(x) אינו קיים, אך קיימים שני הגבולות בסביבות חד-צדדיות שלה. למשל, אם הפונקציה היא פונקציה ממשית במשתנה יחיד וקיימים ושונים זה מזה הגבולות \ \lim_{x\to a^+}f(x),\lim_{x\to a^-}f(x), אזי יש לפונקציה בנקודה \ a אי רציפות מסוג ראשון.
  3. אי רציפות מהסוג השני ("עיקרית"): בנקודה \ a קיימת אי רציפות מהסוג השני, אם לפחות אחד משני הגבולות בסביבות חד-צדדיות שלה לא קיים. למשל, אם הפונקציה היא פונקציה ממשית במשתנה יחיד ולפחות אחד מן הגבולות \ \lim_{x\to a^+}f(x),\lim_{x\to a^-}f(x) אינו קיים (אינו ערך ממשי), אזי יש לפונקציה בנקודה \ a אי רציפות מהסוג השני.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. הפונקציה \ f(x)=\frac {\sin(x)}{x} אינה מוגדרת כלל בנקודה \ x=0, אך ידוע כי מתקיים \ \lim_{x\to 0}f(x)=1. על כן, ניתן להגדיר \ f(0)=1 ותתקבל פונקציה שרציפה גם בנקודה \ 0. עבור כל הגדרה אחרת, \ x=0 תהיה נקודת אי רציפות סליקה של הפונקציה.
  2. פונקציית מדרגה  H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 &  & x < 0 \\ 1 &  & x \ge 0 \end{matrix}\right. רציפה בכל הישר פרט לנקודה \ x=0. בנקודה זו יש לה הן גבול מימין והן גבול משמאל, ולכן זוהי נקודת אי רציפות מן הסוג הראשון.
  3. הפונקציה \ f(x)=\sin \left( \frac {1}{x} \right) היא בעלת אי רציפות מן הסוג השני בנקודה \ x=0 (בסביבת נקודה זו, הפונקציה מתנודדת בקצב הולך וגדל, ככל שמתקרבים ל-\ 0, בין הערכים \ 1 ו-\ -1, ולכן לא קיים לה גבול, אפילו חד-צדדי, בנקודה זו).

דוגמאות נוספות עם ייצוג גרפי[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפונקציה מהדוגמה הראשונה

1. בפונקציה

f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \mbox{ for } x< 1 \\ 2-x&  \mbox{ for }  x>1\end{matrix}\right.

הנקודה \,x_0=1 היא נקודת אי רציפות סליקה, משום ש- \ \lim_{x\to 1}f(x) = 1, וניתן "להפוך" את הפונקציה לרציפה על ידי הגדרתה מחדש באופן הבא: f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \mbox{ for } x< 1 \\ 1&  \mbox{ for }  x=1 \\ 2-x&  \mbox{ for }  x>1\end{matrix}\right.

הפונקציה מהדוגמה השנייה

2. בפונקציה

f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \mbox{ for } x< 1 \\ 2-(x-1)^2& \mbox{ for } x>1\end{matrix}\right.

הנקודה \,x_0=1 היא נקודת אי רציפות מהסוג הראשון, משום ש- \lim_{x\rarr 1^{-}}f(x)=1 \ne 2=\lim_{x\rarr 1^{+}}f(x).

הפונקציה מהדוגמה השלישית


3. בפונקציה

f(x)=\left\{\begin{matrix}\sin\frac{5}{x-1} & \mbox{ for } x< 1 \\ & \\ \frac{0.1}{x-1}& \mbox{ for } x>1\end{matrix}\right.

הנקודה \,x_0=1 היא נקודת אי רציפות מהסוג השני, משום שהגבול \lim_{x\rarr 1^{-}}f(x) לא קיים.