sinc

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
פונקציית ה-sinc המנורמלת (בכחול) ופונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת (באדום) מוצגות על אותה סקלה עבור .

במתמטיקה, לפונקציית ה-sinc, שמסומנת , יש שתי הגדרות:

  1. בעיבוד אותות דיגיטלי ותורת האינפורמציה, פונקציית ה-sinc המנורמלת מוגדרת כ-:
  2. במתמטיקה, פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת מוגדרת בדרך כלל כ-:

בשני המקרים, ערך הפונקציה בנקודת אי-הרציפות הסליקה לעתים קרובות נקבע כערך הגבול שאליו שואפת הפונקציה, כלומר, ל-1. ראו עוד בנושא: הגבול של sin(x)/x.

המונח המקוצר "sinc" הוא קיצור של שמה המלא של הפונקציה "sine cardinal".

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפונקציית ה-sinc המנורמלת יש תכונות שהופכות אותה לאידאליות ביחס לאינטרפולציות ופונקציות בעלות רוחב פס מוגבל (Bandlimited functions):

  • ו עבור and ו (כלומר: k מספר שלם שונה מאפס); כלומר, זו פונקציית אינטרפולציה.
  • הפונקציות יוצרות בסיס אורתונורמלי עבור פונקציות בעלות רוחב פס מוגבל במרחב הפונקציות עם תדירות זוויתית מקסימלית (כלומר התדירות המקסימלית היא ).

תכונות נוספות של פונקציית ה-sinc:

  • נקודות הקיצון של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת     מתאימות לנקודות החיתוך של הפונקציה עם פונקציית הקוסינוס. כלומר לכל נקודה בה הנגזרת של היא 0.
  • פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת היא פונקציית בסל כדורית מסדר 0 והסוג הראשון, . פונקציית ה-sinc המנורמלת מקיימת .
  • האפסים של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת הם כפולות (שונות מאפס) של פאי (). האפסים של פונקציית ה-sinc המנורמלת הם מספרים שלמים השונים מאפס.
  • התמרת פורייה הרציפה של פונקציית ה-sinc המנורמלת   הוא  .
,
כאשר פונקציית המלבן היא 1 עבור ארגומנט בין 1/2 ל 1/2- ואפס אחרת.
  • אינטגרל פורייה לעיל, כולל את המקרה הפרטי
הוא אינטגרל לא-אמיתי. זהו אינו אינטגרל לבג כיוון ש-:
כאשר היא פונקציית גאמה.
כאשר (Si(x הוא אינטגרל סינוס (sine integral).
  • לפי נוסחת אוילר:

הקשר לפונקציית דלתא של דיראק[עריכת קוד מקור | עריכה]

למרות שהיא אינה התפלגות, פונקציית ה-sinc המנורמלת יכולה לשמש לייצוג פונקציית דלתא של דיראק כך:

זה אינו גבול רגיל, משום שאגף שמאל לא מתכנס. עם זאת, מתקיים:

לכל פונקציה חלקה עם תומך קומפקטי.

בביטוי לעיל, כש-a שואף לאפס, מספר התנודות עבור אורך יחידה של פונקציית ה-sinc שואף לאינסוף. אף על פי כן, הביטוי תמיד מתנודד בתוך מעטפת של , ללא תלות בערך של a, והוא שואף לאפס עבור כל ערך של x השונה מאפס. דבר זה מסבך את התמונה הלא-פורמלית של כשווה לאפס עבור כל x למעט הנקודה x=0, וממחיש את הבעיה שבהתייחסות לפונקציית הדלתא כפונקציה ולא כהתפלגות. פתרון דומה נמצא בתופעת גיבס.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]