sinc

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
פונקציית ה-sinc המנורמלת (בכחול) ופונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת (באדום) מוצגות על אותה סקלה עבור \ -6\pi \le x \le 6\pi.

במתמטיקה, לפונקציית ה-sinc, שמסומנת \mathrm{sinc}(x)\,, יש שתי הגדרות:

  1. בעיבוד אותות דיגיטלי ותורת האינפורמציה, פונקציית ה-sinc המנורמלת מוגדרת כ-:
    \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.
  2. במתמטיקה, פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת מוגדרת בדרך כלל כ-:
    \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}.

בשני המקרים, ערך הפונקציה בנקודת אי-הרציפות הסליקה \ 0=x לעתים קרובות נקבע כערך הגבול שאליו שואפת הפונקציה, כלומר, ל-1. ראו עוד בנושא: הגבול של sin(x)/x.

המונח המקוצר "sinc" הוא קיצור של שמה המלא של הפונקציה "sine cardinal".

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפונקציית ה-sinc המנורמלת יש תכונות שהופכות אותה לאידאליות ביחס לאינטרפולציות ופונקציות בעלות רוחב פס מוגבל (Bandlimited functions):

תכונות נוספות של פונקציית ה-sinc:

  • נקודות הקיצון של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת   \frac{\sin(x)}{x}\,   מתאימות לנקודות החיתוך של הפונקציה עם פונקציית הקוסינוס. כלומר \frac{\sin(x)}{x}  = \cos(x) \, לכל נקודה בה הנגזרת של \frac{\sin(x)}{x} \, היא 0.
  • פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת היא פונקציית בסל כדורית מסדר 0 והסוג הראשון, j_0(x) = \frac{\sin(x)}{x} \,. פונקציית ה-sinc המנורמלת מקיימת j_0(\pi x)\,.
  • האפסים של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת הם כפולות (שונות מאפס) של פאי (\pi\,). האפסים של פונקציית ה-sinc המנורמלת \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, הם מספרים שלמים השונים מאפס.
\int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t)\,e^{-2\pi i f t}dt = \mathrm{rect}(f),
כאשר פונקציית המלבן היא 1 עבור ארגומנט בין 1/2 ל 1/2- ואפס אחרת.
  • אינטגרל פורייה לעיל, כולל את המקרה הפרטי
\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx = \mathrm{rect}(0) = 1
הוא אינטגרל לא-אמיתי. זהו אינו אינטגרל לבג כיוון ש-:
\int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right|\ dx = \infty \,
  •  \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)
  •  \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}
כאשר \Gamma(x) היא פונקציית גאמה.
  •  \int_{0}^{x} \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \mathrm{Si}(x)
כאשר (Si(x הוא אינטגרל סינוס (sine integral).

הקשר לפונקציית דלתא של דיראק[עריכת קוד מקור | עריכה]

למרות שהיא אינה התפלגות, פונקציית ה-sinc המנורמלת יכולה לשמש לייצוג פונקציית דלתא של דיראק \ \delta (x) כך:

\lim_{a\rightarrow 0}\frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)=\delta(x)

זה אינו גבול רגיל, משום שאגף שמאל לא מתכנס. עם זאת, מתקיים:

\lim_{a\rightarrow 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)\varphi(x)\,dx
            = \varphi(0),

לכל פונקציה חלקה \varphi(x) עם תומך קומפקטי.

בביטוי לעיל, כש-a שואף לאפס, מספר התנודות עבור אורך יחידה של פונקציית ה-sinc שואף לאינסוף. אף על פי כן, הביטוי תמיד מתנודד בתוך מעטפת של \ \pm 1 / (\pi x ), ללא תלות בערך של a, והוא שואף לאפס עבור כל ערך של x השונה מאפס. דבר זה מסבך את התמונה הלא-פורמלית של \ \delta (x) כשווה לאפס עבור כל x למעט הנקודה x=0, וממחיש את הבעיה שבהתייחסות לפונקציית הדלתא כפונקציה ולא כהתפלגות. פתרון דומה נמצא בתופעת גיבס.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]