מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
ערך מחפש מקורות
רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים.אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים .דף השיחה .
ערך מחפש מקורות
רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים.אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים .דף השיחה .
פונקציית בטא של דיריכלה במתמטיקה , פונקציית בטא של דיריכלה הנקראת על שם יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה היא פונקציה אשר קשורה לפונקציית זטא של רימן . פונקציית בטא של דיריכלה מוגדרת על ידי :
β
(
s
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
s
{\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}}
או
β
(
s
)
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
x
s
−
1
e
−
x
1
+
e
−
2
x
d
x
{\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx}
הפונקציה מוגדרת לכול מספר מרוכב שמקיים
R
e
(
s
)
>
0
{\displaystyle Re(s)>0}
פונקציית פוליגמא אשר מאפשרת הכללה לכול מספר בתחום המישור המרוכב .
β
(
s
)
=
1
2
s
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
n
+
1
2
)
s
=
1
(
−
2
)
2
s
(
s
−
1
)
!
[
ψ
(
s
−
1
)
(
1
4
)
−
ψ
(
s
−
1
)
(
3
4
)
]
{\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{2^{s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{s}}}={\frac {1}{(-2)^{2s}(s-1)!}}\left[\psi ^{(s-1)}\left({\frac {1}{4}}\right)-\psi ^{(s-1)}\left({\frac {3}{4}}\right)\right]}
המשוואה הפונקציונלית של פונקציית בטא של דיריכלה (אשר מוגדרת לכול מספר מרוכב) היא
β
(
1
−
s
)
=
(
π
2
)
−
s
sin
(
π
2
s
)
Γ
(
s
)
β
(
s
)
{\displaystyle \beta (1-s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\Gamma (s)\beta (s)}
כאשר
Γ
(
s
)
{\displaystyle \Gamma (s)}
פונקציית גמא .
הנה כמה ערכים מיוחדים של פונקציית בטא של דיריכלה
β
(
0
)
=
1
2
{\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}}}
β
(
1
)
=
tan
−
1
(
1
)
=
π
4
{\displaystyle \beta (1)\;=\;\tan ^{-1}(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}}}
β
(
2
)
=
G
{\displaystyle \beta (2)\;=\;G}
( G נקרא קבוע קטלן )
β
(
3
)
=
π
3
32
{\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}}}
β
(
4
)
=
1
768
(
ψ
3
(
1
4
)
−
8
π
4
)
{\displaystyle \beta (4)\;=\;{\frac {1}{768}}(\psi _{3}({\frac {1}{4}})-8\pi ^{4})}
β
(
5
)
=
5
π
5
1536
{\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}}}
β
(
7
)
=
61
π
7
184320
{\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}}}
כאשר
ψ
3
(
1
/
4
)
{\displaystyle \psi _{3}(1/4)}
מספר טבעי
k
{\displaystyle k}
β
(
2
k
+
1
)
=
(
−
1
)
k
E
2
k
π
2
k
+
1
4
k
+
1
(
2
k
)
!
{\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!}}
כאשר
E
n
{\displaystyle E_{n}}
מספר אוילר ה-
n
{\displaystyle n}
על ידי הכללה אפשר להסיק שלכל מספר טבעי
k
{\displaystyle k}
β
(
−
k
)
=
E
k
2
{\displaystyle \beta (-k)={{E_{k}} \over {2}}}
![{\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{2^{s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{s}}}={\frac {1}{(-2)^{2s}(s-1)!}}\left[\psi ^{(s-1)}\left({\frac {1}{4}}\right)-\psi ^{(s-1)}\left({\frac {3}{4}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/604ea9c2a4e30e0ca1460c43786897b5c77c6dc9)
