קבוע קטלן

במתמטיקה, קבוע קטלן G ,שנקרא על שם אז'ן שרל קטלן, הוא מספר שמוגדר על ידי

$G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \!$

כאשר β היא פונקציית בטא של דיריכלה. לא ידוע אם קבוע קטלן הוא מספר אי רציונלי.

הגדרות נוספות

$G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\!$

$G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\!$

$G=\int _{0}^{\pi /4}{\frac {t}{\sin t\cos t}}\;dt\!$

$G={\frac {1}{4}}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\;dt\!$

$G=\int _{0}^{\pi /4}\ln(\cot(t))\,dt\!$

$G=\int _{0}^{\infty }\arctan(e^{-t})\,dt\!$

$G=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\!$

$G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (t)\,dt\!$

• כאשר K(t) מוגדר להיות האינטגרל האליפטי.

$G={\frac {\pi }{4}}\int _{0}^{1}\Gamma (1+{\tfrac {x}{2}})\Gamma (1-{\tfrac {x}{2}})\,dx={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\tfrac {1}{2}}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)\,dy$

${\begin{aligned}G&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)\\&{}\quad -2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)\end{aligned}}$

$G={\tfrac {1}{8}}\pi \log(2+{\sqrt {3}})+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}.$

שימושים

על ידי קבוע קטלן אפשר להגדיר ערכים מסוימים של פונקציית פוליגמא כגון:

$\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G$

$\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G.$

קישורים חיצוניים

• קבוע קטלן, באתר MathWorld (באנגלית)